无可救药的背尼玛和包尼玛
ACM刷了一年多，背包学了无数次，学一次忘一次我也是醉了。
特此来纪念一下傻逼的我学习背包的结果。。。
顺便教教可爱又迷人的女朋友。
===========================尼玛，背了个包====================================
【包】：
首先我们要来说一下这个包，背的这个包不是普通的包，因为普通的包不会这么恶心的(生无可恋)。。。
这个包听说是个双肩包，不过我喜欢单肩包，这可能就是我记不住这个包的原因吧。。
包有两个参数，一个是可装的总体积 V；还有一个就是可以获得的总重量 W（一般我们也把这个重量表示为价值）；
同时呢，我们往里塞的东西也是有相应的两个参数 v[ i ] , w[ i ] ；
两个参数对应的就是它占用的体积 和 他带来的价值；
好了，背景介绍完毕！
< 0 - 1 背了个包 >************************
0-1 背包就是背包的精神内涵了(可怕.jpg)。
【基本描述】： 给n个物品，每个物品有v[ i ]，w[ i ]；每个物品只有1个，问！这个包最大能装多少的价值；
【掰扯掰扯】：傻逼一点的人肯定会想找性价比高的放，当然是不行的喽。反例自举。
然后就诞生了0-1来背这个包；
我们设 Dp[ i ] 表示：当背包的容量为 i 的时候，可以装入的最大的价值，（Dp[ i ]表示获得的最大价值）；
然后对于每一件物品（假设当前考虑的物品是第 j 件），我们枚举一下这件物品 放 还是 不放 到这个包里；
①：放
因为我当前最大的容量是 i ，所以我放这个物品进去就要给它空出来它这么大的容量v[ j ]，
而且，空出来的这段容量所带来的价值是确定的，
就是w[ j ]，所以此时，我背包的总的价值就是 Dp[ i ] = Dp[ i - v[ j ] ] + w[ j ]；
（假设Dp[ i - v[ i ] ]是已知的）；
②：不放
不放就是不放，就没有什么好说的了，此时的最大的价值就是 Dp[ i ] 它原来的值了；
③：你到底放还是不放啊！
当然是找两种方式中较大的一种喽。。
原因很简单嘛，加入此时 i = V， 那么此时就是最后的结果了，我当然是要大的那个喽。
其实更理论一点的说法是，动态规划 思维就是：通过子问题最优解得到全局的最优解，
所以每一步我们都要得到最优解。
然后我们的算法过程就很简单了：
for(int j = 0; j < n; j++) { for(int i = v; i >= v[j]; i--) { Dp[i] = max( Dp[i] , Dp[i-v[j]] + w[j] ); } }
代码中有一些需要解释的是，第一层枚举我当前的物品 j ，第二层是从最大的容量开始考虑的，
为什么呢，其实很简单，因为每个物品只能用一次，
i - v[ i ] 是比 i 容量小的状态，如果我们从小往大的枚举的话，那么在 i - v[ j ] 的状态的时候，
如果我们选择了放 j 进去，就意味着j 被用掉了，
并且改变了Dp[ i - v[ j ] ] 的值，我们后来的枚举就不能保证只使用一次 j 了。
倒着枚举可以避免这种状况的出现；
[ 注 ]：
使用前要记得把Dp数组清空为 0 ；
[ 问题变化 ]：
①：问你恰好装满的最大价值。
解决这种问题的时候只要把Dp数组初始化改变一下，DP[ 0 ] = 0; 其余的Dp全部赋为 [ 负无穷 ]。
[ 负无穷 ] 表示该种容量的时候不合法，这样在更新的时候，不合法的背包始终都会是负数，
而合法的背包容量就是正数。
最后判断一下Dp[ V ] 是否是负数就知道是不是合法的结果了。
< 完全 背了个包 >************************
完全背包就是0-1背包的简化版了。
【基本描述】：给你n个物品，每个物品还是那两个参数，但是每一个都可以使用无限多次；
【随便扯扯】：唯一的不同就是枚举的顺序，这次是从前往后的了。至于为什么不懂自己想。
for(int j = 0; j < n; j++) { for(int i = v[j]; i <= V; i++) { Dp[i] = max( Dp[i] , Dp[i-v[j]] + w[j] ); } }
其它的东西都是一样的了，包括初始化和问题变种；
< 多重 背了个包 >************************
多重背包就是完全背包和0-1背包的合体版了（就是这么可怕）。
【基本描述】：给你n个物品，每个物品还是那两个参数，但是每一个都可以使用的次数是给定的；
【随便扯扯】：唯一的不同就是枚举的顺序，这次不是从前往后的了，也不是从后往前的，
而是根据可用的数量，选择枚举的顺序。
这个模板使用了二进制优化；不懂以后慢慢理解；
为什么不写了呢，因为女朋友刚刚跟我生气来着，浪费了好长时间呢，所以不写了！
这告诉我们，哄好女朋友才是提高效率的唯一途径，没有的就算了。
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; int Dp[60005]; void ZeroOne( int cost ,int weight ,int sum ) { for( int i = sum ; i>= cost ; i-- ) Dp[i] = max( Dp[i], Dp[i - cost] + weight ); } void Complete( int cost ,int weight,int sum ) { for( int i = cost ; i<= sum ; i++ ) Dp[i] = max( Dp[i], Dp[i-cost] + weight ); } void Multi( int cost ,int weight, int count, int sum ) { if( cost * count >= sum ) Complete( cost , weight, sum ); else { int i=1; while( i < count ) { ZeroOne( i*cost , i*weight, sum ); count -= i ; i<<=1 ; } ZeroOne( cost* count , weight * count , sum); } }
【进阶问题】：现在问题变了，物品还是原来的物品，现在我要问你能不能把在这个包装满，
我不考虑物品的价值，只问你能不能装满。你说！能不能装满！
其实都一样，就是个初始化的问题。。。
不过今天做到BC一道题，题目要求取 K 个装满 V，这个。。还要思考一下行不行
（其实就是下面要讲的这个 二维费用背包问题）；
< 二维费用 背了个包 >************************
二维费用背包就是背包的升级版了。
【基本描述】：给你n个物品，每个物品三个参数，包括两个费用参数，我们可以简单的理解为 va[ j ] 和 vb[ j ]；
【随便扯扯】：都说了是二维的了，此时的Dp当然就变成二维数组了，Dp[ U ][ V ] 表示这个包两种费用的最大承受值；
那么对于一个物品，还是那样子，放还是不放，方放几个。。。也就是上面的几种DP方式；
不同的是，对于状态转移的时候，要枚举两层了；
void ZeroOne(int cost_u,int cost_v, int weight, int u, int v) { for(int i= u; i>=cost_u; i--) for(int j=v; j>=cost_v; j--) Dp[i][j] = max( Dp[i][j], Dp[i-cost_u][j-cost_v]+weight); } void Complete(int cost_u,int cost_v, int weight, int u, int v) { for(int i= cost_u; i<=u; i++) for(int j=cost_v; j<=v; j++) Dp[i][j] = max( Dp[i][j], Dp[i-cost_u][j-cost_v]+weight); } void Multi(int cost_u,int cost_v, int weight,int count,int u,int v) { if(cost_u * count >=u && cost_v * count >=v) Complete(cost_u, cost_v, weight, u, v); else { int i=1; while( i < count ) { ZeroOne(cost_u*i, cost_v*i ,weight*i, u, v); count -= i; i<<=1; } ZeroOne(cost_u*count, cost_v*count, weight*count, u, v); } }
明天继续.。。。。。。。。挂机ing
< 分组 背了个包 >************************
分组背包就是背包的升升级版了。
【基本描述】：给你n个物品，每个物品三个参数，包括一个体积参数，一个价值参数，还有一个就是这个物品所在的组；
但是都不重要，重要的是每一组里只能选一个物品出来用，或者不选（应该是每种物品只用一次）；
【随便扯扯】：二维的，此时的Dp当然就变成二维数组了，Dp[ K ][ V ] 表示前K组中，最大体积为V的状态获得的最大价值；
首先这个Dp有三层循环。。。
第一层枚举组，当前是第几组K。
第二层枚举背包最大体积V。
第三层枚举这一组中的所有物品 i。
顺序是不能变的，因为对于当前的体积，枚举每一个物品取一个最优解，才能保证只会使用这其中的一个或0个
同时枚举容量的时候倒着枚举，保证了正确性。
for(int k=1;k<=K;k++) for(int j = V; j>=0; j--) for(int i=1;i<=n;i++) { if( j-v[i] < 0) continue; Dp[j] = max(Dp[j], Dp[j-v[i]]+weight[i]); }
< 依赖关系 背了个包 >************************
依赖背包就是背包的升升升级版了。
【基本描述】：给你n个物品，每个物品使用的时候满足某个物品必须使用的要求，
可以理解为这些物品构成一个森林的关系结构，某个物品在取的时候必须满足其父亲节点已经取过。
【随便扯扯】：这种问题的解法是在上一种解法的基础上改进过来的，也是一种分组的思维。有点强行分组的感觉。
这里分组是这样的，对于一棵子树，我们考虑的是取几个物品，也就是0-n个。每一种取法之间都是
互斥的，也就是说我们可以把所有的可能性都列出来，然后用分组背包来做。但是。。所有可能性
会非常的多。也就是不行哒！
然后我们又进一步优化这种思维，对于这棵子树，在所有的可能性中，其实有很多使可以舍弃掉的
因为我的背包一共就V那么大，不同的取法中，取出来的体积大小只有V种，所以，我们可以先对
相同V的取法中选取一个最优的取法，然后在这V个取法中再考虑分组背包去做
（就是一组V件 物品取1件）。
这种题目比较多变了，没有固定的模板，都是在前面的基础上，利用几种Dp方程组合出来的。
正是由于变化多端，所以这类的题目比较多，难度多是中等题，这种思维是很多动态规划的基础。
一般解法就是：
在考虑某个物品的时候，必须将其所有的子物品都考虑完，更新到Dp数组中，、
并且在合法的范围内，然后我们在来考虑这个整棵子树中的最优解（就是这一组中的最优解）
但是这并不是一种显示的分组做法，其更新的过程都隐藏在了DFS的过程中，一般不好看出来
是分组DP但是在思考的时候确实是用了分组背包的思维，这个还要自己理解一下。
hdoj1011 是一道这样的题，其实这是过渡到树形Dp的基础了。
< 泛化物品 背了个包 >************************
泛化背包就是背包的升升……级版了。
【基本描述】：泛化物品就是说，给你一些物品，但是每个物品的价值并不是固定的，根据你分配给这个物品的V
而改变的，也就是其价值是一个在体积范围内的函数。
其实其它的背包也可以看做是泛化的物品，0-1背包中我们可以看做是除了v[i ]其它价值都是0.。。。。
最接近的一种就是分组背包中的了，对于一棵子树，分配给他的容量不同，最大的价值有可能就不同；
【随便扯扯】：泛化的物品其实就是函数的复合，但不是普通的在x轴上的复合，是一种很好理解的抽象复合，
即对于一个给定的容量，如果只有两个物品，那么我可以枚举分给每个物品的容量，取一个最大的。
对每一种v都得到最大的就是将两个物品函数复合成了一个，就相当于替换掉了，然后就继续枚举其它
的物品，最后会复合到一和函数中，然后最大值就是在定义域里寻找了。
