02 2024 档案

摘要：

x \geq 1

$x\ge1$ ，首先证明个简单的引理：

\frac{1}{x} > \frac{9}{10} (\sum_{i = 0}^{9} \frac{1}{10 x + i} - \frac{1}{10 x + 2})

$\frac1x>\frac9{10}(\sum_{i=0}^9\frac1{10x+i}-\frac1{10x+2})$ 不妨设 \[f(x)=\frac1x((\sum\limits_{i=0}^9\frac1{10x+i})-\frac1{10x 阅读全文

posted @ 2024-02-16 17:45 蒟酱阅读(28) 评论(0) 推荐(0) 编辑

随机变量，以及它们的期望和方差

摘要：前置知识期望

E [X]

$E[X]$ 即概率的加权平均。期望具有线性，

E [a x + b] = a E [x] + b

$E[ax+b]=aE[x]+b$ 。方差

V a r (x) = E [X^{2}] - E^{2} [x]

$Var(x)=E[X^2]-E^2[x]$ 。类似的，

V a r (a x + b) = a^{2} V a r (x)

$Var(ax+b)=a^2Var(x)$ 。二项随机变量定义进行

n

$n$ 次独立事件，每次成功的概率为 \(p 阅读全文

posted @ 2024-02-16 17:42 蒟酱阅读(401) 评论(0) 推荐(0) 编辑

普通生成函数学习笔记

摘要：普通生成函数是让一个序列（可以是有限序列，可以是无限序列）的第

i

$i$ 项

a_{i} (i \geq 0)

$a_i(i\ge0)$ 作为

x^{i}

$x^i$ 的系数。序列

[2, 3, 4, 5]

$[2,3,4,5]$ 用生成函数表达就是

2 + 3 x + 4 x^{2} + 5 x^{3}

$2+3x+4x^2+5x^3$ 。序列

[1, 3, 5, 7, \dots]

$[1,3,5,7,\ldots]$ 用生成函数表达就阅读全文

posted @ 2024-02-16 17:41 蒟酱阅读(34) 评论(0) 推荐(0) 编辑

环形染色问题

摘要：一个大小为

n

$n$ 的圆环（环上的点有编号）需要用

m

$m$ 种颜色进行染色（每种颜色不必全都使用），要求相邻两个点的的颜色不同，有多少种染色方案？为了不考虑边界问题，假定

n, m \geq 2

$n,m\ge2$ 。如果不考虑这是一个环，当成一条链，那么第

1

$1$ 个点颜色任意，其他所有点都只需要满足和阅读全文

posted @ 2024-02-16 17:40 蒟酱阅读(107) 评论(0) 推荐(0) 编辑

对二项式定理求导

摘要：\[\begin{aligned} (x+1)^n&=\sum_{i=0}^n\binom nix^i\\ (x+1)^n&=\sum_{i=0}^n\binom nix^i\\ ((x+1)^n)'&=(\sum_{i=0}^n\binom nix^i)'\\ n(x+1)^{n-1}&=\sum 阅读全文

posted @ 2024-02-04 23:26 蒟酱阅读(62) 评论(0) 推荐(0) 编辑

错排

摘要：定义错排，也就是全错的排列，即长度为

n

$n$ 的排列满足

\forall i, a_{i} \neq i

$\forall i,a_i\ne i$ 的方案数。一般采用

d_{n}

$d_n$ 表示错排。递推第

n

$n$ 个元素不能放在下标为

n

$n$ 的格子里，所以假设放在下标为

p (p \neq n)

$p(p\ne n)$ 的格子。第

p

$p$ 阅读全文

posted @ 2024-02-04 17:57 蒟酱阅读(54) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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