CF1030E Vasya and Good Sequences 题解

题意：给定一个序列，你可以对每个数字二进制位上的 \(1\) 进行任意排布，问有多少子串满足异或和为 \(0\)。
因为可以任意排布，所以只需要保留 popcount 即可。满足异或和为 \(0\)，就要保证这个子串的 popcount 之和为偶数，才能让每一个 \(1\) 相互抵消。另外，最多的那个 \(1\) 的数量不能超过子串 popcount 之和的一半，因为不能把最大的数的 \(1\) 移动到别的数上，这样无法抵消全部的 \(1\)。
如果只考虑偶数，直接枚举每个子串的复杂度是 \(\mathcal O(n^3)\) 的，切换枚举顺序可以到 \(\mathcal O(n^2)\)，采用前缀和可以到 \(\mathcal O(n)\)。前缀和优化的意思是如果 \(\sum_{i=1}^np_i\) 和 \(\sum_{j=1}^np_j\) 在模 \(2\) 意义下同余，那么 \(\sum_{k=i+1}^jp_k\) 模 \(2\) 一定是 \(0\)，\([i+1,j]\) 就满足了偶数的性质，开个记录前缀余数的桶扫一遍就行了。
但是还要考虑最大不超过一半这个限制，题目保证 \(a_i\ge1\) 也就是说每个数的 popcount 至少是 \(1\)，又因为 \(a_i\le 10^{18}\)，每个数的 popcount 最多才 \(59\)，只需要枚举所有长度小于 \(60\) 的子串，如果这个子串的 popcount 正好是偶数并且满足最大超过一半，那么就把答案减去 \(1\) 即可，长度大于等于 \(60\) 的子串，就算一个数拉满 popcount 是 \(59\)，别的数摆烂是 \(1\)，也是符合要求的。
复杂度根据 __builtin_popcount 的实现，复杂度是 \(\mathcal O(60n+n\log\log w)\) 到 \(\mathcal O(60n) 不等\)
放个代码：（感觉比题解里的简短）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cassert>
#define siz(x) int((x).size())
#define cauto const auto
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
using std::cin;using std::cout;
using loli=long long;
using venti=__int128_t;
using pii=std::pair<int,int>;
constexpr int kN=3e5+1;
int n,a[kN],cnt[]={1,0},sum;
loli ans;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){loli x;cin>>x;a[i]=__builtin_popcountll(x);}
	for(int l=1;l<=n;l++){
		ans+=cnt[(sum+=a[l])&1]++;
		for(int r=l,max=0,num=0;r<=std::min(n,l+58);r++)
			max=std::max(max,a[r]),
			ans-=(num+=a[r])%2==0&&2*max>num;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}