错排

定义

错排，也就是全错的排列，即长度为 \(n\) 的排列满足 \(\forall i,a_i\ne i\) 的方案数。
一般采用 \(d_n\) 表示错排。

递推

第 \(n\) 个元素不能放在下标为 \(n\) 的格子里，所以假设放在下标为 \(p(p\ne n)\) 的格子。
第 \(p\) 个元素如果放在下标为 \(n\) 的格子里，其他元素的方案数就是 \(d_{n-2}\)。
第 \(p\) 个元素如果不放在下标为 \(n\) 的格子里，那么建立一个对应关系。发现 \(1\sim n-1\) 这些元素都有且仅有一个位置不能放，这就是一个错排，方案数就是 \(d_{n-1}\)。
由于 \(p\) 有 \(n-1\) 种取值，所以，\(d_n=(n-1)(d_{n-1}+d_{n-2})\)。

通项

采用容斥原理，钦定 \(k\) 个元素强行放在原本的位置上。

\[d_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk(n-k)! \]

这个式子也可以用二项式反演获得。

\[n!=\sum_{k=0}^n\binom nkd_k \]

但是这个式子带 \(\sum\)，不优雅。

\[\begin{aligned} d_n&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk(n-k)!\\ &=\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{n!(n-k)!}{k!(n-k)!}\\ &=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}\\ \end{aligned} \]

对 \(e^{-1}\) 泰勒展开。

\[e^{-1}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!} \]

那么 \(e^{-1}n!-d_n\) 就可以计算了。

\[\begin{aligned} &e^{-1}n!-d_n\\ &=n!(\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}-\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!})\\ &=n!\sum_{k=n+1}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}\\ &=n!\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^{n+k+1}}{(n+k+1)!}\\ &=(-1)^{n+1}n!\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(n+k+1)!}\\ &=(-1)^{n+1}\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{n!}{(n+k+1)!}\\ \end{aligned} \]

对于 \(i\) 为奇数，有：

\[0<\frac{n!}{(n+i)!}-\frac{n!}{(n+i+1)!}<\frac{n!}{(n+i)!}<\frac1{n^i} \]

\[0<\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{n!}{(n+k+1)!}<\sum_{i=0}^\infty\frac1{n^{2i+1}}=\frac n{n^2-1} \]

所以把这个式子带入

\[\begin{aligned} 0<\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{n!}{(n+k+1)!}<\frac n{n^2-1}\\ 0<|(-1)^{n+1}\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{n!}{(n+k+1)!}|<(-1)^{n+1}\frac n{n^2-1}\\ 0<|e^{-1}n!-d_n|<\frac n{n^2-1}\\ \end{aligned} \]

当 \(n\ge3\) 时，\(\frac n{n^2-1}<\frac12\) 成立，所以 \(0<|e^{-1}n!-d_n|<\frac12\)。
当 \(n=1\) 或 \(n=2\) 时，\(0<|e^{-1}n!-d_n|<\frac12\) 经计算，也成立。
所以 \(d_n\) 就是 \(e^{-1}n!\) 四舍五入，也就是 \(\lfloor e^{-1}n!+\frac12\rfloor\)。
由此，\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{d_n}n=\frac1e\)。