摘要：
\(x\ge1\)，首先证明个简单的引理： \[\frac1x>\frac9{10}(\sum_{i=0}^9\frac1{10x+i}-\frac1{10x+2}) \]不妨设 \[f(x)=\frac1x((\sum\limits_{i=0}^9\frac1{10x+i})-\frac1{10x 阅读全文
摘要：
前置知识 期望 \(E[X]\) 即概率的加权平均。 期望具有线性，\(E[ax+b]=aE[x]+b\)。 方差 \(Var(x)=E[X^2]-E^2[x]\)。 类似的，\(Var(ax+b)=a^2Var(x)\)。 二项随机变量 定义 进行 \(n\) 次独立事件，每次成功的概率为 \(p 阅读全文
摘要：
普通生成函数是让一个序列（可以是有限序列，可以是无限序列）的第 \(i\) 项 \(a_i(i\ge0)\) 作为 \(x^i\) 的系数。 序列 \([2,3,4,5]\) 用生成函数表达就是 \(2+3x+4x^2+5x^3\)。 序列 \([1,3,5,7,\ldots]\) 用生成函数表达就 阅读全文
摘要：
一个大小为 \(n\) 的圆环（环上的点有编号）需要用 \(m\) 种颜色进行染色（每种颜色不必全都使用），要求相邻两个点的的颜色不同，有多少种染色方案？ 为了不考虑边界问题，假定 \(n,m\ge2\)。 如果不考虑这是一个环，当成一条链，那么第 \(1\) 个点颜色任意，其他所有点都只需要满足和 阅读全文