ABC 132 | D - Blue and Red Balls

题目描述

给定$K$个蓝球和$N - K$个红球，这$N$个球从左到右排成一列，$Takahashi$可以每次选连续的若干个蓝球直至蓝球被选完，他会在尽可能少的步数内完成。
问有多少种球的摆放方式使得$Takahashi$可以在恰好$i(1 \le i \le K)$步内取完所有蓝球？由于方案数很多，输出$\mod 1e9 + 7$后的结果。

数据范围

$1 \le K \le N \le 2000$

题解

本题是一个计数题，可以通过排列组合直接进行计算。

• 首先将$K$个蓝球分为$i$组，有$C_{k - 1}^{i - 1}$种方案数
• 然后考虑用红球将蓝球间隔开，有以下三种方案。
  • 将$N - K$个红球分为$i$组，有$C_{N - K - 1}^{i - 1}$种方案，考虑到$i$组红球与$i$组蓝球交替排放有两种方案，故总方案数为$2 * C_{N - K - 1}^{i - 1}$
  • 将$N - K$个红球分为$i - 1$组，有$C_{N - K - 1}^{i - 2}$种方案
  • 将$N - K$个红球分为$i + 1$组，有$C_{N - K - 1}^{i}$种方案
• 综上，最后的方案数有$C_{k - 1}^{i - 1} * (2 * C_{N - K - 1}^{i - 1} + C_{N - K - 1}^{i - 2} + C_{N - K - 1}^{i})$种。

但若直接按照上述公式写成代码，在避免RE错误加特判的过程中会导致答案错误，当然这是由于对计算过程理解不够导致的，这种情况可以先化简公式，也可以构造特殊样例发现错误

$$\begin{align*} &C_{k - 1}^{i - 1} * (2 * C_{N - K - 1}^{i - 1} + C_{N - K - 1}^{i - 2} + C_{N - K - 1}^{i}) \\ = &C_{k - 1}^{i - 1} * （(C_{N - K - 1}^{i - 1} + C_{N - K - 1}^{i - 2}）+（C_{N - K - 1}^{i - 1} + C_{N - K - 1}^{i}))\\ = &C_{k - 1}^{i - 1} * （C_{N - K}^{i - 1} + C_{N - K}^{i}) \\ = &C_{k - 1}^{i - 1} * C_{N - K + 1}^{i} \end{align*}$$

使用的化简公式是$C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m}$

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 2010, mod = 1e9 + 7;

int n, k;
ll c[N][N];

void init(){
    for(int i = 0; i < N; i ++)
        for(int j = 0; j <= i; j ++)
            if(!j) c[i][j] = 1;
            else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
}

int main()
{
    init();
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= k; i ++){
        ll ans = c[k - 1][i - 1] * c[n - k + 1][i] % mod;
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}