ABC 250 | D - 250-like Number

题目描述

给定一个数$N$，找出$[1, N]$范围内，可以表示成$p \times q^3$的形式的数的个数，其中$p < q$且$p$、$q$均为质数。

数据范围

$1 \le N \le 10^{18}$

题目解析

首先观察数据范围发现不可以枚举$i, i \in [1, N]$，然后判断该数是否满足题目描述性质。考虑逆向思维，枚举$p, q$并构造满足题目要求的数，然后判断是否在$1 \sim N$范围内。
$N = p \times q^3， N \le 10^{18} \Rightarrow q \le 10^6$
所以只需预处理出$10^6$范围内的质数，可以用线性筛法。

预处理得到$10^6$范围内的质数后(不到$10^5$个)，可以通过两种方法计算在$1 \sim N$范围内的$p \times q^3$的个数。（需注意，由于$p$和$q$均为质数，所以只要$p$和$q$不完全相同，组合出的数就不同，可以从质因数分解的角度证明）。

方法一：二分查找$O(N\log N)$

枚举所有的$p$，查找满足条件的$q$。
假设$p$为$primes[i]$，起初为满足$q > p$设置边界条件为$l = i + 1, r = cnt$，这样做无法通过样例。后调整为$l = 0, r = cnt$，然后判断是否有$l > i$，可以AC。

方法二：双指针算法$O(N)$

容易发现$p$与$q$移动的单调性，因此可用双指针算法，每次答案加上两个指针之间的距离。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 1e6 + 10;

int primes[N], cnt;
bool st[N];
ll n;

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

ll check(ll p, ll q){
    double x = (double)p * (double)q * (double)q * (double)q;
    if(x > 4e18) return 4e18;
    return p * q * q * q;
}

int main()
{
    get_primes(1e6);
    scanf("%lld", &n);

    ll ans = 0;
    for(int i = 0; i < cnt; i ++){
        ll p = primes[i];
        int l = 0, r = cnt;
        while(l < r){
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            ll q = primes[mid];
            if(check(p, q) <= n) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        if(l > i) ans += (l - i);
    }
    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}

模板积累

//学会处理一个爆ll的数
ll check(ll p, ll q){
    double x = (double)p * (double)q * (double)q * (double)q;
    if(x > 4e18) return 4e18;
    return p * q * q * q;
}