ABC 251 | E - Takahashi and Animals

题意描述

Takahashi有$N$头牛，编号为$1 \sim N$，他可以通过以下$N$种方式来喂养牛：

• 花费$A_1$喂养牛$1$和牛$2$
• 花废$A_2$喂养牛$2$和牛$3$
• 花费$A_3$喂养牛$3$和牛$4$
• ... ...
• 花费$A_{N - 1}$喂养牛$N - 1$和牛$N$
• 花费$A_N$喂养牛$N$和牛$1$

Takahashi的目标是使得每一头牛都被喂养，并使得花费最小，输出该最小花费。

数据范围

• $2 \le N \le 3 \times 10^5$
• $1 \le A_i \le 10^9$

题目解析

动态规划问题常用来解决最优化问题，而动态规划应用于这类问题的优势在于解决了重叠子问题，避免重复计算。动态规划算法的关键在于状态表示和状态转移。
首先对问题进行分析

• 若想牛$1$被喂养，操作$1$和操作$N$需至少选择一个
• 若想牛$2$被喂养，操作$1$和操作$2$需至少选择一个
• 若想牛$3$被喂养，操作$2$和操作$3$需至少选择一个
• ... ...
• 若想牛$N - 1$被喂养，操作$N - 2$和操作$N - 1$需至少选择一个
• 若想牛$N$被喂养，操作$1$和操作$N$需至少选择一个

状态表示
$f[i][0]$表示已对前$i - 1$个进行决策且第$i$个不选的最小费用.
$f[i][1]$表示已对前$i - 1$个进行决策且第$i$个选的最小费用.

状态转移
$f[i][0] = f[i - 1][1]$
$f[i][1] = \min(f[i - 1][0], f[i - 1][1]) + a[i]$

边界条件及问题答案

• 若不进行操作$1$
  $f[1][0] = 0, f[1][1] = inf$
  此时必须进行操作$N$，故答案为$f[N][1]$
• 若进行操作$1$
  $f[1][1] = a[1], f[1][0] = inf$
  此时答案为$\min (f[n][0], f[n][1])$

将以上两种情况的答案取最小值作为该问题的答案。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 3e5 + 10;

ll f[N][2];
ll a[N];
int n;

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%lld", &a[i]);

    ll ans = 1e18;

    //不选1
    f[1][0] = 0, f[1][1]= 1e18;
    for(int i = 2; i <= n; i ++){
        f[i][0] = f[i - 1][1];
        f[i][1] = min(f[i - 1][1], f[i - 1][0]) + a[i];
    }
    ans = min(ans, f[n][1]);

    //选1
    f[1][0] = 1e18, f[1][1]= a[1];
    for(int i = 2; i <= n; i ++){
        f[i][0] = f[i - 1][1];
        f[i][1] = min(f[i - 1][1], f[i - 1][0]) + a[i];
    }
    ans = min(ans, f[n][1]);
    ans = min(ans, f[n][0]);

    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}