霍尔定理

霍尔定理

前置芝士/约定：

应用在二分图匹配中，设当前二分图的两部为 $A,B$ 部。

• 现在任意从 $A$ 中选出一个子集 $S$，并且把所有 $S$ 中的点连接的，$B$ 部中的点放进集合 $T$。

• 完美匹配指 $A$ 中的所有点都可以被匹配。

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参考博客（带证明）

定理1

若对于 $\forall S,|S| \leq |T|$，则二分图存在完美匹配。

条件结论交换依然成立，若二分图存在完美匹配，$\forall S,|S| \leq |T|$。

定理2

若对于一个定值 $k$, $\forall S,|S|-k \leq |T|$，则二分图匹配中 $A$ 部至少可以匹配 $|A|-k$ 个。

条件结论交换依然成立

定理3

定理3是针对另一种匹配，如果现在匹配的规则改为了： 一个 $A$ 中的点可以匹配 $k$ 个 $B$ 中的点。

若 $\forall S,|S|\times k \leq |T|$，则存在完美匹配。

条件结论交换依然成立。