二分图笔记

一些定理

一、最小点覆盖=最大匹配

即，选一些点染色，要求图中所有边至少有一端被染色。

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证明：

涂色方案：设匹配点为红点，未匹配点为蓝点。易知，一对匹配的红点，最多只有一个点会连接蓝点。将这个连接了蓝点的点染色。

合法性：所有匹配边显然已经合法了，考虑非匹配边。非匹配边有一个性质：它至少与一条匹配边有公共端点。所以那条与它有公共端点的边被合法化时，这条非匹配边也会合法。

最优性？

二、最小边覆盖=总点数-最大匹配

即，选一些边染色，要求对于图中任意点 \(u\)，至少有一条与 \(u\) 相连的边被染色。

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证明：

考虑每个点怎么被染色。最暴力的就是随便找一条与它相连的边染色。考虑优化，一条匹配边可以使两个点合法，所以我们尽量选匹配边，最终答案就会减少匹配边的数量，最大化匹配边数量，最终答案就会减少最大匹配数。

三、最大独立集=总点数-最大匹配数

图的最大独立集是一个最大的点集，要求任意两点之间没有边相连。

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证明：

问题等价于：去掉最少的点，同时删除与其相连的边，使得剩下点之间没有边。删除的那些点就是最小点覆盖问题，所以删除的最小的点的数量就是最大匹配数。

四、最小路径覆盖

这个问题是针对DAG的。给出一个有向图，请用最少的有向路径，覆盖所有的顶点。同一个顶点只能被一条路径覆盖。

根据DAG建出一个二分图 \(G\)：把每个点拆成两个点。分别表示这个点的入度和出度。再把DAG上的边连到 \(G\) 中

结论：最小路径覆盖= DAG点数 - \(G\) 的最大匹配

证明：

因为是求一条链，链上的点，除了起点和终点，其他点的出度入度都为 \(1\)。所以对应着二分图上一个点最多只有一个匹配。每一条链都可以在二分图上表示出来。让链的数量最少，等价于让入度为 \(0\) 的点变少，等价于让二分图第一部的非匹配点最少。也就是要找到最大匹配。

模型及例题

1. 超级英雄：板题。从一个点出发找不到增广路，它就一定不在最大匹配中
2. P4304 [TJOI2013] 攻击装置：把图划分为两个部分。要求只能从一个走到另一个。将问题转化为最大独立集问题。染色（划分）技巧：观察一个点能走到的点与它的不同
3. P5030 长脖子鹿放置：同2。都是最大独立集问题
4. P2172 [国家集训队] 部落战争：DAG的最小路径覆盖
5. P2825 [HEOI2016/TJOI2016] 游戏：考虑没有硬石头，每一行，每一列就只有一个炸弹把矩阵中的一个点 \((x,y)\) 抽象为一条边，把每一行和每一列抽象为点，若在 \((x,y)\) 放炸弹就代表 \(x\) 行和 \(y\) 列匹配，寻找最大匹配数。考虑本题，一行被隔开成了很多段，这些段互不影响，列也一样。所以把每一横段和每一竖段抽象为一个点，再寻找最大匹配数。
6. P3231 [HNOI2013] 消毒：考虑二维，不难发现，每次要么涂满某一整行，要么涂满某一整列，这样每一次代价都为 \(1\)。所以再次将一个点 \((x,y)\) 抽象为一条边，行和列抽象为点。我们想用最小的染点的次数使所有边合法，所以就是找最小点覆盖=最大匹配。考虑原问题，对于每一层，要么直接用 \(1\) 的代价染完这一层，要么和其他层一起考虑，用一些“行和列染完”。注意到必定有一维 \(\leq 17\)。不妨暴力枚举每一层的情况。
7. P1963 [NOI2009] 变换序列：字典序最小的最大匹配方案。先随便找到一个最大匹配方案。从小到大枚举 \(i\)，从小到大遍历 \(i\) 能匹配的点 \(j\)。断掉 \((i,match_i),(j,match_j)\)。如果从 \(match_i\) 出发，能找到一条增广路，说明 \(i\) 不是 \(match_i\) 必须连接的边，\(j\) 也不是 \(match_j\) 必须连接的边。这时就可以匹配 \((i,j)\)。注意这里有一个操作：锁定 \((i,j)\)。在以后的检测（找增广路）时，不能经过锁定的匹配。这保证了最小字典序。
8. P4055 [JSOI2009] 游戏：重点其实在博弈论的分析，这里不再赘述，题解很清楚。用到了一个性质，非匹配点连接的点都是匹配点。还有就是找所有可能的非匹配点的方法：先随便跑出一个最大匹配方案。从每一个当前的非匹配点 \(x\) 开始（注意第一部和第二部的非匹配点都要找到），遍历它连接的每一个匹配点 \(y\)，可以把 \((match_y,y)\) 替换为 \((x,y)\) 那么 \(match_y\) 也能变成非匹配点，又继续从 \(match_y\) 点开始找非匹配点，一直递归下去直到某一个非匹配点能替换的点都被其他点替换过了。