2020.11.25提高组模拟 总结

2020.11.25【NOIP提高A组】模拟

又是成功爆炸的一场模拟赛......

 

T1. 6891 太空漫步(walking)

第一眼构造自动机，设 \(f[i][j]\) 表示匹配串到 \(i\)，自动机到 \(j\) 是否可行，\(O(10^8)\) 转移即可。

但是感觉 \(1e8\) 过不了于是想了好久，结果最后告诉我甚至不用构造自动机，第二维设成模式串到 \(j\) 就可以了emmm

 

T2. 6892 树的解构(deconstruct)

考虑删除每一条边对答案的贡献，发现贡献分成了四部分难以统计，于是我赛时就炸了......

其实正解也不难，考虑每个点对答案的贡献，点 \(u\) 能在祖先 \(f\) 删边时产生 \(1\) 的贡献当且仅当 \((f, u)\) 之间的所有边中，\(f\) 向 \(u\) 的边是最早被删除的，也就是说对于 \(f\)，\(u\) 产生 \(1\) 的贡献的概率为 \(\frac{1}{dep_u - dep_f}\)。

那么 \(u\) 对答案期望的贡献为 ：\(\sum \limits_{d = 1}^{dep_u - 1}{\frac{1}{d}}\)

最后答案即为：

\[\sum_{i = 1}^{n}{\sum_{d = 1}^{dep_i - 1}{\frac{1}{d}}} \]

前缀和 \(O(n)\) 可以求出答案。（默认 \(dep_1 = 1\)）

 

T3. 6893 小 T 与灵石(stone)

比赛的时候没有什么想法，听说有人给剖了......

正解也比较巧妙，易证，\(dist(x, p_j)\) 取得最大值时 \(p_j\) 一定为 \(p\) 组成树的直径的端点。

那么找出直径后，在新建节点链接直径的中点，边权为直径的一半，为避免小数可把边权 \(\times 2\)，如果中点在边上，则新建两个节点分别连接边的两个端点，边权为直径的一半 \(+ 1\)。

这样建出新图后，\(g(x)\) 即为 \(x\) 到最近的新建点的距离。

 

\(T4\)

暂时不会唔