Virtual Tree 学习笔记
\(\text{Virtual Tree}\) 略解
引子
像大部分虚树介绍一样，以一道 烂大街 的例题 [SDOI2011]消耗战 引入：
\(Description\)
给定一棵大小为 \(n\) 的树，每条边有边权，\(m\) 组询问，每次询问给定 \(k\) 个 关键点，要求切断 \(1\) 与所有关键点的路径，求最小代价。
\(\text{Data Constraint}\)
\(2 \leq n \leq 2.5 \times 10^5\)，\(m \geq 1\)，\(\sum{k} \leq 5 \times 10^5\)，\(1 \leq k \leq n - 1\)
\(\text{Simple Solution}\)
设 \(f_u\) 表示切断 \(u\) 与其子树中所有 关键点 的最小代价。
设 \(w_{u, v}\) 表示边 \((u, v)\) 的权值。
枚举 \(u\) 的儿子 \(v\)，转移分为两类：
- \(v\) 是关键点：\(f_u = f_u + w(u, v)\)
- \(v\) 不是关键点：\(f_u = f_u + min(f_v, w(u, v))\)
朴素做法的时间复杂度为 \(O(nq)\)，并过不掉这题，所以我们需要进行优化。
可以注意到，我们浪费的很多时间 \(dp\) 非关键点，并且关键点的总数是与 \(n\) 同阶的，所以考虑能否 浓缩信息，大树变小。
这时引出 虚树 的概念。
简介
直观的感受一下：
选取不同关键点，建出来的虚树如下所示：
（以上图转自 OI Wiki）
任意两个关键点的 \(LCA\) 也需要保存重要信息，我们需要将其保留，所以 虚树中不一定只包含关键点。
以及我们可以发现，虚树中祖先后代关系并不会改变。
算法流程
接下来直接搬运一波建树方法：
首先很直观的，可以将所有关键点按 \(DFS\) 序排序，遍历一遍，两两间求求 \(LCA\)，判判重，连连边，就建完啦！（逃）
朴素算法复杂度较高，考虑单调栈，单调栈的作用是：维护虚树上的一条链。
为了方便，首先将根节点加入栈中，然后按 \(DFS\) 序遍历关键点：
- 若当前点 \(u\) 与栈顶节点的 \(LCA\) 是栈顶节点，那么说明 \(u\) 与栈中节点在一条链上，直接将 \(u\) 压入栈中
- 若 \(LCA\) 不是栈顶节点，
-
首先进行退栈，每弹出一个栈顶节点，在虚树中加入其与其虚树中父亲的连边。
-
直到栈顶节点为 \(LCA\) 的父亲或为 \(LCA\)，若栈顶节点不为 \(LCA\)，则将 \(LCA\) 加入栈中
-
最后将 \(u\) 加入栈中。
需注意一些细节：
退栈时，一般栈顶节点在虚树中的父亲为第二节点，但是最后弹出的栈顶节点的父亲为 \(LCA\) （注意我们最后把 \(LCA\) 加入栈中了）；
如例题，我们需要多次建虚树，则每次需要清空存图的数组，一般在节点入栈时清空即可（如邻接表，前向行 \(head\) 数组等）；
如例题，每一条虚树中的边（或点）可能浓缩的原树中几条边的信息，所以我们有时需要先求出浓缩信息，然后在连边赋上。例题中我用了倍增的方法在连边时 \(logn\) 求出一条虚树上边的权值（其实就是几条原树边取个 \(min\)）。
最后
对于例题，建出虚树后，直接在上面跑朴素 \(dp\) 就可以啦！
例题
[SDOI2011]消耗战
\(Code\)
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 1000000
#define L 19
#define Fo(i, u) for(int i = head[u]; i; i = edge[i].next)
#define fo(i, x, y) for(int i = x, end_##i = y; i <= end_##i; ++ i)
#define fd(i, x, y) for(int i = x; i >= y; i --)
typedef long long ll;
void read(int &x) {
char ch = getchar(); x = 0;
while (ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
while (ch >= '0' && ch <= '9') x = (x << 1) + (x << 3) + ch - 48, ch = getchar();
}
struct EDGE { int next, to, w; } edge[N << 1];
int head[N + 1], pre[N + 1][L + 1], g[N + 1][L + 1], sta[N + 1], dfn[N + 1], a[N << 1], dep[N + 1], key[N + 1];
ll f[N + 1];
int n, m, len, now = 0;
int cnt_edge = 1;
void Add(int u, int v, int w) { edge[ ++ cnt_edge ] = (EDGE) { head[u], v, w }, head[u] = cnt_edge; }
void Link(int u, int v, int w) { Add(u, v, w), Add(v, u, w); }
void Input() {
read(n);
for (int i = 1, x, y, z; i < n; i ++)
read(x), read(y), read(z), Link(x, y, z);
read(m);
}
int tot_dfn = 0;
void Dfs1(int u, int la) {
pre[u][0] = edge[la].to, g[u][0] = edge[la].w;
dfn[u] = ++ tot_dfn, dep[u] = dep[pre[u][0]] + 1;
Fo(i, u) if (i != la)
Dfs1(edge[i].to, i ^ 1);
}
void Init() {
Dfs1(1, 0);
fo(j, 1, L) fo(i, 1, n)
pre[i][j] = pre[pre[i][j - 1]][j - 1],
g[i][j] = min(g[i][j - 1], g[pre[i][j - 1]][j - 1]);
}
bool Cmp(int x, int y) { return dfn[x] < dfn[y]; }
int Get_lca(int u, int v) {
if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
for (int i = 0, x = dep[u] - dep[v]; x; ++ i, x >>= 1)
if (x & 1) u = pre[u][i];
if (u == v) return u;
fd(i, L, 0) if (pre[u][i] != pre[v][i])
u = pre[u][i], v = pre[v][i];
return pre[u][0];
}
int Get_dis(int u, int v) {
if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
int Dis = g[u][0];
for (int i = 0, x = dep[u] - dep[v]; x; ++ i, x >>= 1)
if (x & 1) Dis = min(Dis, g[u][i]), u = pre[u][i];
return Dis;
}
ll min(ll a, ll b) { return a < b ? a : b; }
void Build() {
sort(a + 1, a + 1 + len, Cmp);
sta[1] = 1, head[1] = 0; cnt_edge = 0;
int top = 1;
for (int i = 1, lca = 0; i <= len; i ++) {
// if (a[i] == 1) continue; 以防重复加入
lca = Get_lca(sta[top], a[i]);
if (lca != sta[top]) {
while (dfn[lca] < dfn[sta[top - 1]])
Add(sta[top - 1], sta[top], Get_dis(sta[top], sta[top - 1])), -- top;
if (dfn[lca] > dfn[sta[top - 1]])
head[lca] = 0, Add(lca, sta[top], Get_dis(sta[top], lca)), sta[top] = lca;
else
Add(lca, sta[top], Get_dis(sta[top], lca)), -- top;
}
sta[ ++ top ] = a[i], head[a[i]] = 0;
}
fo(i, 1, top - 1)
Add(sta[i], sta[i + 1], Get_dis(sta[i + 1], sta[i]));
}
void Dfs2(int u) {
f[u] = 0;
Fo(i, u) {
Dfs2(edge[i].to);
f[u] += key[edge[i].to] == now ? edge[i].w : min(f[edge[i].to], edge[i].w);
}
}
void Solve() {
Build();
Dfs2(1);
printf("%lld\n", f[1]);
}
int main() {
Input();
Init();
fo(Case, 1, m) {
read(len); ++ now;
fo(i, 1, len)
read(a[i]), key[a[i]] = now;
Solve();
}
return 0;
}
\(CF 613 D. Kingdom and its Cities\)
\(Solution\)
待补充......
