洛谷 CF1043F Make It One 解题报告

CF1043F Make It One

题意

从一堆数中选择最少的数，使它们的\(\gcd=1\)

输入输出格式

输入格式

第一行：一个正整数\(n\)。
第二行：\(n\)个正整数，给出了这个数列。

输出格式

一行，\(-1\)（如果任意选择都不能得到\(1\)分）或一个正整数（表示选择的数的数量的最小值）

数据范围

\(1\leq n\leq 300,000 , 1\leq a_i \leq 300,000\).

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第二次遇到此类题了，反演理解的不好，不清楚怎么用反演理解这个题。

不过容斥的方法还挺神的（虽然可能感觉有点套路？

发现选择的数不会超过\(7\)个，因为\(2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17 >3\times 10^5\)

直接暴力枚举选几个数

然后设\(dp_{i,j}\)表示选\(i\)了\(i\)个数且这\(i\)个数\(\gcd=j\)的方案数

\(dp_{i,j}=\binom{cnt_j}{i}-\sum_{j|k}f_{i,k}\)

\(cnt_j\)表示有多少个数是\(j\)的倍数

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Code:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
const int N=3e5+10;
const ll mod=1e9+7;
ll qp(ll d,ll k)
{
    ll f=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) f=f*d%mod;
        d=d*d%mod;
        k>>=1;
    }
    return f;
}
ll fac[N],inv[N],dp[N];
int n,cnt[N],mx;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[n]=qp(fac[n],mod-2);
    for(int i=n-1;~i;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    for(int a,i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a),++cnt[a],mx=mx>a?mx:a;
    for(int i=1;i<=mx;i++)
        for(int j=i<<1;j<=mx;j+=i)
            cnt[i]+=cnt[j];
    for(int i=1;i<=7;i++)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int j=mx;j;j--)
        {
            dp[j]=cnt[j]>=i?fac[cnt[j]]*inv[cnt[j]-i]%mod*inv[i]%mod:0;
            if(dp[j])
                for(int k=j<<1;k<=mx;k+=j)
                    (dp[j]-=dp[k])%=mod;
            (dp[j]+=mod)%=mod;
        }
        if(dp[1]) return printf("%d\n",i),0;
    }
    puts("-1");
    return 0;
}

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2018.11.5