神炎皇 解题报告

神炎皇

问题描述

神炎皇乌利亚很喜欢数对， 他想找到神奇的数对。
对于一个整数对\((a,b)\)， 若满足 \(a+b\le n\) 且 \(a+b\) 是 \(ab\) 的因子， 则称为神奇的数对。 请问这样的数对共有多少呢？

输入格式

一行一个整数 \(n\)。

输出格式

一行一个整数表示答案， 保证不超过 \(64\) 位整数范围。

数据范围与约定

对于\(20\%\)的数据 \(n\le 1000\)；

对于\(40\%\)的数据 \(n\le 100000\)；

对于\(60\%\)的数据 \(n\le 10000000\)；

对于\(80\%\)的数据 \(n\le 1000000000000\)；

对于\(100\%\)的数据 \(n\le 100000000000000\)。

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说一下考试时候的打表历程吧（拿了\(40pts\)，如果让我交答案表了就有\(60pts\)了）

第一个表的枚举\(a+b\)，然后暴力找\(a,b\)

得到了一个没什么用的答案表

把数对打出来

研究一下发现每个\(a+b\)的贡献可以这么算,设\(f(x)\)为\(x=a+b\)的贡献

则\(f(x)=\sum_{i=1}^x[x|i^2]\)

证明一下也不难，因为\(gcd(i,x)=gcd(x-i.x)\)

发现这样没什么卵用，继续打表发现

后面的都是第一个的倍数，理解起来也非常简单，考虑每个数最小满足的数怎么搞。

发现就是唯一分解以后，指数除\(2\)向上取整，拿原数除最小数即为个数\(-1\)（因为自己不算），则又有

\(x=\prod p_i^{c_i}\)，\(f(x)=\prod p_i^{\lfloor\frac{c_i}{2}\rfloor}-1\)

令\(g(x)=\prod p_i^{\lfloor\frac{c_i}{2}\rfloor}\)

发现\(g(x)\)是积性函数，然而窝并没想到\(O(n)\)的筛法，只好只拿了\(40pts\)

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正解：

设有一对满足条件的数对\((a,b)\)

设\(d=gcd(a,b),a'=\frac{a}{d},b'=\frac{b}{d}\)

则要满足条件\((a'+b')d|a'b'd^2\)

即\((a'+b')|a'b'd\)

因为\((a',b')=1\),所以\((a'+b',a')=(a'+b',b')=1\)，所以\((a'+b',a'b')=1\)

则条件为\((a'+b')|d\)

设\(i=a'+b'\)，\(d=ki\)，那么有\(id=i^2k\le n\)

发现枚举\(i\)只需要到\(\sqrt n\)就可以了，于是枚举\(i\)

对于一个\(i\)，\(k\)的取值个数为\(\lfloor\frac{n}{i^2}\rfloor\)

考虑\(i\)内部的情况，发现是\(\varphi(i)\)，原因很简单，也是因为\(gcd(i,x)=gcd(i,i-x)\)，考虑一下成对出现就可以了。

那么答案就为\(\sum_{i=1}^{\sqrt n}\varphi(i)\lfloor\frac{n}{i^2}\rfloor\)

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总结：

1. 数据范围根号提示
2. 想办法使用\(\varphi ,\mu\)什么的
3. 胡乱更换枚举项试试（这是很多题的核心了，谁枚举的少好算，我就找谁）
4. 不要忘记打个表

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Code:

#include <cstdio>
#define ll long long
const int N=1e7;
int pri[N+10],phi[N+10],ispri[N+10],cnt;
ll ans,n;
void init()
{
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!ispri[i])
        {
            pri[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=N;j++)
        {
            ispri[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                break;
            }
            else
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    scanf("%lld",&n);
    for(ll i=1;i*i<=n;i++)
        ans=ans+phi[i]*(n/(i*i));
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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2018.11.1