洛谷 [CQOI2015]选数 解题报告
[CQOI2015]选数
题目描述
我们知道,从区间\([L,H]\)(\(L\)和\(H\)为整数)中选取\(N\)个整数,总共有\((H-L+1)^N\)种方案。
小\(z\)很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的\(N\)个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助。
你的任务很简单,小\(z\)会告诉你一个整数\(K\),你需要回答他最大公约数刚好为\(K\)的选取方案有多少个。由于方案数较大,你只需要输出其除以\(1000000007\)的余数即可。
输入输出格式
输入格式:
输入一行,包含\(4\)个空格分开的正整数,依次为\(N\),\(K\),\(L\)和\(H\)。
输出格式:
输出一个整数,为所求方案数。
说明
对于\(100\%\)的数据,\(1 \le N, K \le 10^9\),\(1 \le L \le H \le 10^9\),\(H-L \le10^5\)
暴力反演一波你会发现要求这个式子
需要使用杜教筛,不想学,发现还有一个神仙的\(DP\)
令\(r=\lfloor\frac{r}{k}\rfloor,l=\lceil\frac{l}{k}\rceil\)
问题等价于问互质的方案数
引理:区间\([l,r]\)任意两个不相等数的最大公约数的大小不会超过\(r-l\)
证明:取任意互质的数\(a,b\),将它们同乘\(m\),而\(r-l\)取最小值时\((b-a)\times m \ge m\),得证
(证明是从别处抄的,说实话不太懂QAQ)
设\(dp_{i}\)代表以\(i\)为最大公约数的数量,且所选的数不全相等。
考虑\(g_i\)为\(i\)为约数的数量,同样也是所选的不全相等。
(不全相等是处于统计方便考虑)
显然
根据容斥原理
注意要特判\(l=1\),因为这个时候可以全相等
Code:
#include <cstdio>
#define ll long long
const int N=1e5+10;
const ll mod=1e9+7;
ll n,k,l,r;
ll dp[N];
ll quickpow(ll d,ll k)
{
ll f=1;
while(k)
{
if(k&1) f=f*d%mod;
d=d*d%mod;
k>>=1;
}
return f;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&l,&r);
l=(l-1)/k+1,r=r/k;
for(ll i=1;i<=r-l;i++)
{
ll cnt=(r/i-(l-1)/i);
dp[i]=quickpow(cnt,n)-cnt;
}
for(ll i=r-l;i;i--)
for(ll j=i<<1;j<=r-l;j+=i)
(dp[i]-=dp[j])%=mod;
printf("%lld\n",(dp[1]+(l==1)+mod)%mod);
return 0;
}
2018.10.20