洛谷 [SDOI2015]约数个数和 解题报告
[SDOI2015]约数个数和
题目描述
设\(d(x)\)为\(x\)的约数个数,给定\(N,M\),求$ \sum\limitsN_{i=1}\sum\limitsM_{j=1}d(ij)$
输入输出格式
输入格式:
输入文件包含多组测试数据。第一行,一个整数\(T\),表示测试数据的组数。接下来的\(T\)行,每行两个整数\(N,M\)。
输出格式:
\(T\)行,每行一个整数,表示你所求的答案。
说明
\(1 \le N, M \le 50000\)
\(1 \le T \le 50000\)
Solution
引理\(1\):
\[\sum_{d|gcd(a,b)} \mu(d)=[gcd(a,b)=1]
\]
引理\(2\):
\[d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]
\]
可以通过\(d\)唯一分解后的计算式感性理解一下
剩下的暴力推个式子
\[\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^bd(ij)
\]
\[=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{d|gcd(x,y)}\mu(d)
\]
暴力更换不太好枚举的一些东西(比如谁整除谁)
\[=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{d=1}^{min(a,b)}\mu(d)[d|gcd(x,y)]
\]
\[=\sum_{d=1}^{min(a,b)}\mu(d)\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{x|i}\sum_{y|j}[d|gcd(a,b)]
\]
调整求和顺序
\[=\sum_{d=1}^{min(a,b)}\mu(d)\sum_{x=1}^a\sum_{y=1}^b[d|gcd(a,b)]\sum_{x|i}^a\sum_{y|j}^b 1
\]
\[=\sum_{d=1}^{min(a,b)}\mu(d)\sum_{x=1}^a\sum_{y=1}^b[d|gcd(a,b)]\lfloor\frac{a}{x}\rfloor\lfloor\frac{b}{y}\rfloor
\]
某一项太不好弄了,通过更改枚举项拿掉
\[=\sum_{d=1}^{min(a,b)}\mu(d)\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{a}{d}\rfloor}\sum_{y=1}^{\lfloor\frac{b}{d}\rfloor}\lfloor\frac{a}{dx}\rfloor\lfloor\frac{b}{dy}\rfloor
\]
发现求和项也带有下取整,预处理前缀和以后直接整除分块就可以了。
Code:
#include <cstdio>
#define ll long long
const int N=5e4;
int pri[N+10],mu[N+10],ispri[N+10],f[N+10],cnt,T,a,b;
void init()
{
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(!ispri[i])
{
pri[++cnt]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=N;j++)
{
ispri[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0) break;
else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<=N;i++)
{
mu[i]+=mu[i-1];
for(int l=1,r;l<=i;l=r+1)
{
r=i/(i/l);
f[i]+=i/l*(r-l+1);
}
}
}
int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
int main()
{
init();
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
ll ans=0;
for(int l=1,r;l<=min(a,b);l=r+1)
{
r=min(a/(a/l),b/(b/l));
ans+=1ll*(mu[r]-mu[l-1])*f[a/l]*f[b/l];
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
2018.10.20