fhq_treap 学习笔记
前言：昨天写NOIp2017队列，写+调辗转了3h+，不知道怎么的，就点进了一个神仙的链接，便在今日学习了神仙的fhq_treap。
简介：fhq_treap功能强大，支持splay支持的所有操作，代码简单，仅有两个核心函数\(merge\)和\(split\)，更重要的是，它作为无旋的平衡树，是支持可持久化的。
正题：fhq_treap的实现
(0)树的域
对树的每个节点，我们维护
\(ch[2],siz,dat,val\)
分别为左右儿子，子树大小，BST性质的关键字，堆性质的关键字
其中堆是小根堆
(1)split函数
\(void \ split(now,k,\&x,\&y)\)
按照\(k\)值的意义可以有两种方式理解，其一为把以\(now\)为根的子树按照\(BST\)性质的权值按不大于\(k\)和大于\(k\)两种分裂成两颗子树，两颗子树的根分别为\(x\)和\(y\)。
这个函数是递归执行的，有严格的子问题划分性。
我们可以这样描述一次对整棵树的操作：
比较当前根节点权值\(dat[now]\)与\(k\)值
若大于，则根节点和右子树被划分为\(y\)树，当前根为\(now\)，\(y\)树的左子树不确定，进入左子树求解子问题
若不大于，则根节点和左子树被划分为\(x\)树，当前根为\(now\)，\(x\)树的右子树不确定，进入右子树求解子问题
复杂度分析：进入节点所构成的路径相当于对平衡树做了一次查询值为\(k\)的点的操作，复杂度与树的深度相关，根据\(treap\)的随机性，可以认为是\(O(logn)\)
代码实现：
void split(int now,int k,int &x,int &y)//把小于等于k的树分在x上
{
if(!now) {x=y=0;return;}
if(dat[now]>k) y=now,split(ls,k,x,ls);
else x=now,split(rs,k,rs,y);
updata(now);
}
其中，\(ls\),\(rs\)为宏定义的左右儿子，\(updata\)为更新节点的大小\(siz\)
另一种\(k\)值的意义为树中排名为\(k\)的节点，实现起来差不多
(2)merge函数
\(int \ merge(int \ x,int \ y)\)
意义为：把以\(x\)为根的子树和以\(y\)值为根的子树合并，返回新根节点。
注意这里有要求：以\(x\)值为根的子树的BST性质的最大节点小于以\(y\)为根的子树的最小节点。也就是说，这两棵子树本来就是在BST是一颗完全小于另外一颗，我们只需要在合并时保证堆性质即可。
这个函数是仍然递归执行的，有严格的子问题划分性。
我们可以这样描述一次对整棵树的操作：
比较两个根节点的\(val\)
若\(val[x]<val[y]\)，好的当前根就是\(x\)了，\(x\)的左子树不用管了，我们进入\(x\)的右子树和\(y\)继续玩
否则，差不多啊反过来就行了
复杂度分析：两颗子树你一下我一下的走到了底，复杂度与子树的深度之和相关，可以认为是\(O(logn)\)
代码实现：
int Merge(int x,int y)//左树的权值小于右树
{
if(!x||!y) return x+y;
if(val[x]<val[y])
{
ch[x][1]=Merge(ch[x][1],y);
updata(x);
return x;
}
else
{
ch[y][0]=Merge(x,ch[y][0]);
updata(y);
return y;
}
}
(3)其他常见操作
有了功能强大的\(split\)和\(merge\)，我们就可以很轻松的执行其他操作了
\(insert(k)\)
实现：把树按\(k\)分裂成两个，新建一个点再合并回去
代码：
void Insert(int k)
{
int x,y;
split(root,k,x,y);
root=Merge(Merge(x,New(k)),y);
}
\(extrack(k)\)//删除
实现：把树先分裂成两个，再把含\(k\)的那一颗把\(k\)单独分出来。注意如果有重复元素，单独的\(k\)构成的子树只删除根节点就够了。最后合并回去。
代码：
void extrack(int k)
{
int x,y,z;
split(root,k,x,y);
split(x,k-1,x,z);
z=Merge(ch[z][0],ch[z][1]);
root=Merge(x,Merge(z,y));
}
(4) 实例 洛谷P3369普通平衡树
Code:
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define ls ch[now][0]
#define rs ch[now][1]
const int N=100010;
int siz[N],ch[N][2],dat[N],val[N],tot,root;
void updata(int now)
{
siz[now]=siz[ls]+siz[rs]+1;
}
void split(int now,int k,int &x,int &y)//把小于等于k的树分在x上
{
if(!now) {x=y=0;return;}
if(dat[now]>k) y=now,split(ls,k,x,ls);
else x=now,split(rs,k,rs,y);
updata(now);
}
int Merge(int x,int y)//左树的权值小于右树
{
if(!x||!y) return x+y;
if(val[x]<val[y])
{
ch[x][1]=Merge(ch[x][1],y);
updata(x);
return x;
}
else
{
ch[y][0]=Merge(x,ch[y][0]);
updata(y);
return y;
}
}
int New(int k)
{
siz[++tot]=1;dat[tot]=k;val[tot]=rand();
return tot;
}
void Insert(int k)
{
int x,y;
split(root,k,x,y);
root=Merge(Merge(x,New(k)),y);
}
void extrack(int k)
{
int x,y,z;
split(root,k,x,y);
split(x,k-1,x,z);
z=Merge(ch[z][0],ch[z][1]);
root=Merge(x,Merge(z,y));
}
void Rank(int k)
{
int x,y;
split(root,k-1,x,y);
printf("%d\n",siz[x]+1);
root=Merge(x,y);
}
void frank(int now,int x)
{
while(233)
{
if(siz[ls]>=x) now=ls;
else if(siz[ls]+1<x) x-=siz[ls]+1,now=rs;
else {printf("%d\n",dat[now]);return;}
}
}
void pre(int k)
{
int x,y;
split(root,k-1,x,y);
frank(x,siz[x]);
root=Merge(x,y);
}
void suc(int k)
{
int x,y;
split(root,k,x,y);
frank(y,1);
root=Merge(x,y);
}
int main()
{
int t,opt,x;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&opt,&x);
if(opt==1) Insert(x);
else if(opt==2) extrack(x);
else if(opt==3) Rank(x);
else if(opt==4) frank(root,x);
else if(opt==5) pre(x);
else suc(x);
}
return 0;
}
2018.7.28
