洛谷 P2261 [CQOI2007]余数求和 解题报告

P2261 [CQOI2007]余数求和

题意：

求\(G(n,k)=\sum_{i=1}^n k \ mod \ i\)

数据范围：

\(1 \le n,k \le 10^9\)

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\(G(n,k)\)
\(=\sum_{i=1}^n k-i*\lfloor \frac{k}{i} \rfloor\)
\(=n*k-\sum_{i=1}^n i*\lfloor \frac{k}{i} \rfloor\)

显然，\(\lfloor \frac{k}{i} \rfloor\)的分布可能会有重复。

根据除法分块（别在意它只是一个名字），这些值不重复的个数大约是\(\sqrt k\)

我们只需要统计每一块的值即可，注意到值在区间上的出现是单调递增的。

如果我们得到某一块最开始的下标\(l\)（可以从上一块的\(r\)得到），如何推得这一块的\(r\)呢？

其实很简单,\(\frac{k}{l}\)的余数是最大的，而\(\frac{k}{r}\)的余数显然得为0

设\(t=\frac{k}{l}\),则\(r=\frac{k}{t}\)

加上不能越界的判断，完整的即为
\(if \ t==0\)
\(r=n\)
\(else\)
\(r=min(n,\frac{k}{t})\)

对每一块直接统计即可

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Code:

#include <cstdio>
#define ll long long
ll min(ll x,ll y){return x<y?x:y;}
ll k,ans,n,l,r,t;
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    ans=n*k;
    l=1;
    while(r!=n)
    {
        ll t=k/l;
        if(!t) r=n;
        else r=min(n,k/t);
        ans-=(r+1-l)*(l+r)*t/2;
        l=r+1;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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2018.7.23