洛谷 P2389 电脑班的裁员 解题报告
题意：
给定一段长为N的序列，选取其中的至多M段使这些子段和最大。
当N=1000时，我们可以采用动态规划解法
令\(dp[i][j][k]\)代表当前选至位置\(i\)处于第\(j\)段当前是否选取(1选0不选)
则转移为
\(dp[i][j][0]=max(dp[i-1][j][1],dp[i-1][j][0])\)
\(dp[i][j][1]=max(dp[i-1][j-1][0],dp[i-1][j][1])+score[i]\)
其中\(i\)的一维可以滚动掉
Code：
#include <cstdio>
#include <cstring>
int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
const int N=503;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int dp[N][N][2],n,k,score[N];
void init()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",score+i);
memset(dp,-0x3f,sizeof(dp));
dp[1][0][0]=0,dp[1][1][1]=score[1];
}
void work()
{
for(int i=2;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=k;j++)
{
dp[i][j][0]=max(dp[i-1][j][1],dp[i-1][j][0]);
dp[i][j][1]=max(dp[i-1][j-1][0],dp[i-1][j][1])+score[i];
}
int ans=-inf;
for(int i=0;i<=k;i++)
ans=max(ans,max(dp[n][i][0],dp[n][i][1]));
printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
init();
work();
return 0;
}
当N=100,000时，我们可以采用贪心解法
注意到每次选取时，一段连续的正数或者连续的负数，要么我们不取选它，要么全部选走。
我们先缩个点，使序列变成正负数交错的，其中，第一项和最后一项的负数我们一定不去选择，故舍去。
设当前有\(k\)个正数。
则当\(M>=k\)时，直接选取\(k\)个正数即可。
当\(M<=k\)时，对每个正数，我们有两种选择，放弃它，或者跨过负数选择它。
则当选中一个负数\(a\)时，我们损失了\(-a\)，当放弃一个正数\(b\)时，我们损失了\(b\)
则不管哪种情况，我们只需要找到绝对值最小的一个数，选择它或者放弃它
采用二叉堆维护这个最小值
当这个最小值被操作时，其实等价于新产生了一个权值为 它和它旁边的两个元素的权值和 的新元素，这时候产生的新数列一定会少一个正数
值得一提的是，当第一项和最后一项是负数的时候，不一定一定减少一个正数，所以我们根据贪心不去选择这些点即可
合并元素可以采用链表进行维护
Code:（实在是不好看QAQ）
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#define ll long long
#define P pair <ll,ll>
using namespace std;
const int N=1000010;
ll a[N],b[N],n0,k,n,pre[N],suc[N],cnt,used[N];
ll labs(ll x){return x>0?x:-x;}
void init()
{
scanf("%lld%lld",&n0,&k);
for(int i=1;i<=n0;i++)
scanf("%lld",a+i);
int k=0;a[0]=-1;
while(a[k]<0) k++;
for(int i=k;i<=n0;i++)
{
if(a[i]*a[i-1]>0)
b[n]+=a[i];
else
b[++n]=a[i];
}
while(n&&b[n]<0) n--;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
pre[i]=i-1;
suc[i]=i+1;
}
suc[0]=1;
suc[n]=0;
}
priority_queue <P,vector <P >,greater <P > > q;
P p;
void work()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(b[i]>0) cnt++;
p.first=labs(b[i]);
p.second=i;
q.push(p);
}
while(cnt>k)
{
int pos=q.top().second;
q.pop();
if(used[pos]) continue;
if(!suc[pos]&&b[pos]<0)
{
suc[pre[pos]]=suc[pos];
pre[suc[pos]]=pre[pos];
continue;
}
if(!pre[pos]&&b[pos]<0)
{
pre[suc[pos]]=pre[pos];
suc[pre[pos]]=suc[pos];
continue;
}
used[pre[pos]]=used[suc[pos]]=1;
b[pos]+=b[pre[pos]]+b[suc[pos]];
cnt--;
if(pre[pos])
{
pre[pos]=pre[pre[pos]];
suc[pre[pos]]=pos;
}
if(suc[pos])
{
suc[pos]=suc[suc[pos]];
pre[suc[pos]]=pos;
}
p.first=labs(b[pos]),p.second=pos;
q.push(p);
}
int now=suc[0];
ll ans=0;
while(now)
{
if(b[now]>0) ans+=b[now];
now=suc[now];
}
printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
init();
work();
return 0;
}
当N=1,000,000时，我们可以将算法近似优化到\(O(N)\)
具体大家可以参考出题人的题解
我在这里解释一下这个近似，原题解没有说道找到第\(k\)值的问题
主要就是利用基于快速排序思想的STL函数\(nth\_element\)，可以在近似\(O(n)\)的复杂度找到第\(k\)值
代码我没写，感觉不太好写
