洛谷 P1490 买蛋糕 解题报告

P1490 买蛋糕

题目描述

野猫过生日，大家当然会送礼物了（咳咳，没送礼物的同志注意了哈！！），由于不知道送什么好，又考虑到实用性等其他问题，大家决定合伙给野猫买一个生日蛋糕。大家不知道最后要买的蛋糕的准确价格，而只会给蛋糕估价，即要买一个不超过多少钱的蛋糕。众OIer借此发挥：能否用最少的钱币数去凑成估价范围内的所有价值，使得不管蛋糕价值多少，都不用找钱……

现在问题由此引出：对于一个给定的n，能否用最少的不等的正整数去组成n以内（包括n）的所有的正整数呢？如果能，最少需要多少个正整数，用最少个数又有多少不同的组成方法呢？

输入输出格式

输入格式：

只有一行包含一个整数n(1<=n<=1000)。

输出格式：

一行两个数，第一个数是最少需要多少个数，第二个数是用最少个数的组成方案个数。两个答案用空格分隔。

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• 首先明确第一个问题：这个最小的正整数是多少？

也许你可以打表看出来，也许不能，但别急，我们有看似靠谱一点的思维方法

看看样例：6

可行方案：

①\(1\) \(2\) \(3\);

②\(1\) \(2\) \(4\).

我们发现，对于方案①，组成3的时候有两种方法（1+2或3），而方案②只有一种。换而言之，3的利用是有浪费的。而不浪费的方案②还可以组成7。

那么，我们咋让她(每个数)都用好自己呢

很简单，百合就行了

联想一下二进制位下的数

\(1\),\(10\),\(11\),\(100\),\(101\),\(110\),\(111\),\(1000\)...

可不是嘛，这个\(2^i\)的每个数利用率可高了

由此可知，二进制的位数即为这个最小的正整数。

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• 想明白第一问以后，应该给出了一个相对的第二问的思维导向。（当然不绝对哈）

当每个数的利用率最大的时候，她们能够凑成的最大整数即为她们的和，这点是毋庸置疑的。

那么，在利用率相对不是那么大的时候呢？

我们注意到，此时已经有了一个限制条件：已有的最小正整数

手动模拟一下，确实是仍然成立的。（其实是不太会证啦）

这时候，我们就把参与量已使用的各数之和和凑成的最大整数搞到一起去了

考虑\(dp[k]\)代表凑成时\(k\)的方案数。看看这时候还要压哪些信息进去。

显然，剩下的必要信息还有第\(i\)个数和第\(i\)个数的值\(j\)

\(dp[i][j][k]\)表示已选\(i\)个数，第\(i\)个数为\(j\)，前\(i\)个数和为\(k\)（凑成的最大整数位\(k\)）的时候的方案数

转移方程 \(dp[i+1][l][k+l]+=dp[i][j][k];\)

其中\(l\)为枚举的下一个填充数

核心代码：

    dp[1][1][1]=1;
    for(int i=1;i<ans;i++)
        for(int j=i;j<=(1<<(i-1));j++)
            for(int k=i*(i-1)/2;k<(1<<i);k++)
                for(int l=j+1;l<=k+1;l++)
                    if(l+k<=n)
                        dp[i+1][l][k+l]+=dp[i][j][k];
                    else
                        dp[i+1][l][n]+=dp[i][j][k];

注意\(j,k,l\)的上下界，都是被已经得到的第一问给约束住了

当然，也没必要跑这么死，比如\(k\)从\(i\)开始反而会快一些。

至于\(if\)和\(else\)的判断，是为了方便求最后结果的一点点小贪心了。

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2018.5.2