线性代数

线性代数

基础知识

行列式

一个 \(n\) 阶行列式可以写作一个 \(n\times n\) 的数表，其中数表的第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素可以用下标 \(ij\) 来表示，例如

\[\left|\begin{array}{} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \ddots &\cdots\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| \]

为了定义行列式的值，我们先定义排列

排列

由 \(1,2,\dots,n(n\ge 2)\) 组成的有序数组称 \(n\) 阶排列，通常用 \(i_1,i_2,\dots,i_n\) 来表示。

我们用排列中的逆序对数量来定义排列的奇偶性，有奇数个逆序对的排列是奇排列，记做 \(sgn(i_1i_2\dotsi_n)=-1\) ，否则为偶排列，记做 \(sqn(i_1i_2\dots i_n)\)

• 性质
  1. 任意交换任意两个位置的数改变排列的奇偶性
  2. 在所有 \(n\) 阶排列中，奇偶排列数量相等

行列式的定义

一个 \(n\) 阶行列式的值定义为

\[\begin{aligned} \left|\begin{array}{} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \ddots &\cdots\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| \end{aligned}=\sum_{i_1i_2\dots i_n}(-1)^{sqn(i_1i_2\dots i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}\dots a_{ni_n} \]

上三角行列式

\[\begin{aligned} \left|\begin{array}{} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\ 0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \ddots &\cdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| \end{aligned}=\prod_{i=1}^n a_{ii} \]

代入定义式即可验证

行列式的性质

1. 行列互换不改变行列式的值
2. 用一个数乘行列式的某一行等于用这个数乘该行列式
3. 将行列式中某一行写作两组数的和， 则这个行列式等于两个行列式之和
4. 对换行列式两行的位置， 行列式反号
5. 如果行列式中有两行成比例， 则行列式等于0
6. 把行列式一行的某个倍数加到另一行， 行列式的值不变

这些性质都很 trivial ，比较好证。于是我们可以用高斯消元的方法把矩阵消除上三角并计算行列式，复杂度 \(O(n^3)\)

拉普拉斯展开

设 \(A\) 是一个 \(n\) 阶方阵，我们直接用 \(|A|\) 来记其对应的行列式。

\(M_{ij}\) 表示矩阵 \(A\) 删去第 \(i\) 行第 \(j\) 列后 \(n-1\) 阶方阵对应的行列式的值，称为 \(A\) 的余子式。

• 拉普拉斯展开定理（在后面线性递推的推导中需要使用）

  \(\forall 1\le i\le n\) ，有 \(|A|=\sum_{1\le j\le n} (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}\)

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生成树计数

矩阵树定理

定义无重边无自环的无向图 \(G\) 的度数矩阵为 \(D(G)=\left\{\begin{aligned}&d_i,i=j\\&0,i\not=j\end{aligned}\right.\) ，邻接矩阵为 \(A(G)=E(i,j)\)。

其中 \(d_i\) 表示点 \(i\) 的度数，\(E(i,j)\) 表示 \(i,j\) 之间是否有边

事实上，可以有重边，但不能有自环，自环需要先删去，这点在证明过程中会说明

定义 \(K(G)=D(G)-A(G)\) ，称为图 \(G\) 的基尔霍夫矩阵

• 矩阵树定理

  对于一个无向图 \(G\) ，\(G\) 的不同生成树个数等于其基尔霍夫矩阵 \(K(G)\) 的任意一个主余子式的绝对值。

  主余子式：矩阵 \(A\) 去掉第 \(i\) 行第 \(i\) 列后方阵对应的余子式，即 \(M_{ii}\)

  关于任意性，之后也会提到原因。

下面介绍一些东西，并借助Cauchy-Binet证明矩阵树定理

基尔霍夫矩阵的行列式

对 \(n\) 个点无向图 \(G\) 的基尔霍夫矩阵 \(K(G)\) ，显然有 \(\forall i\in n,\sum_{1\le j\le n}K_{i,j}=0\) ，也就是 \(K(G)\) 的行和为 \(0\)

模拟高斯消元的过程，我们发现我们的操作仅仅是将某一行乘上一个数并加给另一行，这样并不改变行和

而高斯消元的最后，第 \(n\) 行的元素前 \(n-1\) 列已经被消成 \(0\) ，而又要保证行和为 \(0\) ，因此 \(k_{nn}=0\) ，矩阵的行列式为 \(0\)

因此，我们得到了任意无向图的基尔霍夫矩阵的 \(|K(G)|=0\)

不连通图的基尔霍夫矩阵

这里讨论的是基尔霍夫矩阵的主余子式

若我们交换图 \(G\) 的两个点的标号，对应 \(K(G)\) 的改变是交换两行两列，不改变行列式

因此可以将每个连通子树的序号排列到一起去，\(K(G)\) 就变成了分块矩阵的样子

\[\left|\begin{array}{} G_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & G_{22} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & G_{33} & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \ddots &\cdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & G_{mm} \end{array}\right| \]

\(0\) 是 \(0\) 矩阵，\(G_{ii}\) 是每个连通块矩阵

显然有，\(|K(G)|=|G_{11}||G_{22}|\dots|G_{mm}|\)

可以发现，删去一行一列后，只将一个 \(G_{ii}\) 变为非 \(0\) ，因此 \(K(G)\) 的主余子式一定为 \(0\)

树的基尔霍夫矩阵

考虑 \(K(G)\) 的任意主余子式 \(M_{rr}\) ，将 \(r\) 视为树的根，将点按照深度从大到小重新标号，深度相等的点随意，这样根就在第 \(n\) 行

然后我们模拟高斯消元的过程，可以发现实际上每个点会消掉父亲点的一个度数。而每个点度数最终都被消成了 \(1\) ，因此主对角线全是 \(1\)，而没有父亲的根就被我们直接删去了

因此 \(|M_{rr}|=1\)

边矩阵

设图 \(G=(V,E)\) ，其中 \(|V|=n,|E|=m\) ，设 \(G\) 的边矩阵为 \(B\) ，这是一个 \(m\) 行 \(n\) 列的矩阵，其中第 \(i\) 行描述 \(G\) 的第 \(i\) 条边 \((u_i,v_i)\) ，\(B\) 中元素 \(b_{i,u_i}=1,b_{i,v_i}=-1\)，其余元素为 \(0\) (这个定向是任意的)

可以代入验证基尔霍夫矩阵 \(K(G)=B^TB\)

\[\begin{aligned} K(G)_{ij}=\sum_{k=1}^mb_{ik}b_{kj}=\left\{\begin{aligned} &d_i,i=j\\ &-1,(i,j)\in E\\ &0,otherwise \end{aligned}\right. \end{aligned} \]

同理可以验证 \(M_{ii}=|(B_i)^TB_i|\)，其中 \(B_i\) 为把边矩阵 \(B\) 删去第 \(i\) 列后的矩阵

Cauchy-Binet定理

Cauchy-Binet定理：

\[|AB|=\sum_{|s|=n}|A_{s*}B_{*s}| \]

其中 \(A\) 为 \(m\times n\) 的矩阵，\(B\) 为 \(n\times m\) 的矩阵，\(s\) 是一个下标的集合，\(A_{s*}\) 表示只选取 \(s\) 中的行形成的方阵，\(B_{*s}\) 表示只选取 \(s\) 中的列形成的方阵

矩阵树定理

由 Cauchy-Binet 定理可得

\[M_{ii}=|(B_i)^TB_i|=\sum_{|s|=n-1}|(B_{is*})^TB_{i*s}| \]

其中 \((B_{is*})^TB_{i*s}\) 就是恰好选中 \(s\) 的 \(n-1\) 条边时构成的图的主余子式，当且仅当它们构成的图是树时，\((B_{is*})^TB_{i*s}=1\) ，否则 \((B_{is*})^TB_{i*s}=0\)

有向图的情况

可以定义有向图 \(G\) 的度数矩阵 \(D(G)\) 表示每个节点的入度，定义有向图 \(G\) 的邻接矩阵 \(A(G)\) ，其中 \(a_{ij}\) 描述从 \(i\) 到 \(j\) 的边，则对于基尔霍夫矩阵 \(K(G)=D(G)-A(G)\) ，主余子式 \(M_{rr}\) 同样表示以 \(r\)

为根的有向生成树数量。

定义有向图 \(G=(V,E)\) 的边矩阵 \(S\) 和 \(T\) ，对于 \(G\) 的第 \(i\) 条边 \((u_i,v_i)\) , 定义 \(s_{i,u_i}=1\) ，且 \(t_{i,v_i}=s_{i,v_i}=-1\) ，可以验证 \(K(G)=S^TT\)

剩下的证明过程类似

生成树边权乘积和

实际上，若无向图 \(G\) 每个边边权为 \(v\)，使用矩阵树定理求得的实际上是下式

\[\sum_T\prod_{E(i,j) \in T} v_{i,j} \]

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线性递推

学屁，不学了