于神之怒加强版 解题报告

于神之怒加强版

题目描述

给定\(n,m,k\),计算

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \mathrm{gcd}(i,j)^k \]

对\(1000000007\)取模的结果

说明

\(T\le 2000,1\le N,M,K\le 5000000\)

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注意\(k\)不是每次都给的...

可以推出式子

\[\sum_{T=1}^{\min(n,m)}\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\sum_{ab=T}a^k\mu(b) \]

然后预处理一下右边，发现右边是\(f=Id^k*\mu\)，所以是积性的

因为\(Id^k\)是完全积性函数，所以可以\(O(n)\)预处理

然后又有\(f(p^c)=(p^c)^k-(p^{c-1})^k\)，\(p\)是质数，就可以筛了

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Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using std::min;
const int N=5e6+1;
const int mod=1000000007;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
#define mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%mod)
int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}
int Id[N],b[N],f[N],pri[N],ispri[N],k,cnt;
void init()
{
	Id[1]=b[1]=f[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++)
	{
		if(!ispri[i])
		{
			Id[i]=qp(i,k);
			f[i]=Id[i]-1;
			b[i]=i;
			pri[++cnt]=i;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++)
		{
			int x=pri[j]*i;
			ispri[x]=1;
			Id[x]=mul(Id[i],Id[pri[j]]);
			if(i%pri[j])
			{
				b[x]=pri[j];
				f[x]=mul(f[i],f[pri[j]]);
			}
			else
			{
				b[x]=mul(b[i],pri[j]);
				if(b[i]==i) f[x]=add(Id[x],mod-Id[i]);
				else f[x]=mul(f[i/b[i]],f[b[x]]);
				break;
			}
		}
	}
	for(int i=2;i<N;i++) f[i]=add(f[i],f[i-1]);
}
int main()
{
	int T,n,m;scanf("%d%d",&T,&k);
	init();
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m);
		int ans=0;
		if(n>m) std::swap(n,m);
		for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
		{
			r=min(n/(n/l),m/(m/l));
			ans=add(ans,mul(n/l,mul(m/l,add(f[r],mod-f[l-1]))));
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

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2019.3.17