网络流24题 最长不下降子序列问题 解题报告

最长不下降子序列问题

题意

给一个长为\(n(\le 500)\)的序列\(\{a_i\}\)，求解

• 最长不下降子序列的长度为\(s\)
• 一次可以取出长度为\(s\)的不下降子序列的最多个数
• 定义本质不同的子序列为有一个位置不同的子序列，若每次取出的子序列的开头和末尾不计入使用次数，求解问题2

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考虑一下问题\(2\)

次数限制为\(1\)，要取出最多长为\(s\)的路径，让我们想到分层图建模，但是点太多了。

一个神奇的思路是拿问题\(1\)的\(dp\)数组进行分层，于是每个点只会在某层出现一次，就可以跑了。

问题\(3\)特判一下，随便改改容量再跑就可以了

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Code:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int N=1e3+10;
const int M=2e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int head[N],to[M],Next[M],edge[M],cnt=1;
using std::max;
using std::min;
void add(int u,int v,int w)
{
	to[++cnt]=v,edge[cnt]=w,Next[cnt]=head[u],head[u]=cnt;
	to[++cnt]=u,edge[cnt]=0,Next[cnt]=head[v],head[v]=cnt;
}
int n,a[N],dp[N],s,t,q[N],dep[N],l,r;
bool bfs()
{
	memset(dep,0,sizeof dep);
	dep[q[l=r=1]=s]=1;
	while(l<=r)
	{
		int now=q[l++];
		for(int v,i=head[now];i;i=Next[i])
			if(edge[i]&&!dep[v=to[i]])
			{
				dep[v]=dep[now]+1;
				if((q[++r]=v)==t) return true;
			}
	}
	return false;
}
int dfs(int now,int flow)
{
	if(now==t) return flow;
	int res=flow,yuu;
	for(int v,i=head[now];i&&res;i=Next[i])
		if(edge[i]&&dep[v=to[i]]==dep[now]+1)
		{
			yuu=dfs(v,min(res,edge[i]));
			if(!yuu) {dep[v]=0;continue;}
			edge[i]-=yuu,edge[i^1]+=yuu;
			res-=yuu;
		}
	return flow-res;
}
int Dinic()
{
	int ret=0,flow;
	while(bfs()) while(flow=dfs(s,inf)) ret+=flow;
	return ret;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	int ans=0,yuu;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",a+i);
		dp[i]=1;
		for(int j=1;j<i;j++)
			if(a[j]<=a[i])
				dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
		ans=max(ans,dp[i]);
	}
	printf("%d\n",ans);
	if(ans==1) return printf("%d\n%d\n",n,n),0;
	s=n<<1|1,t=s+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		add(i,i+n,1);
		if(dp[i]==1) add(s,i,1);
		if(dp[i]==ans) add(i+n,t,1);
		for(int j=1;j<i;j++)
			if(a[j]<=a[i]&&dp[j]+1==dp[i])
				add(j+n,i,1);
	}
	printf("%d\n",yuu=Dinic());
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(dp[i]==1) add(s,i,inf),add(i,i+n,inf);
		if(dp[i]==ans) add(i+n,t,inf),add(i,i+n,inf);
	}
	printf("%d\n",yuu+Dinic());
	return 0;
}

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2019.2.21