A guess 解题报告
A guess
题意
选一个\([1,n](n\le 500)\)的整数,可以询问数是否属于区间\([l,r]\),多次询问一起回答,统计有多少种询问区间集合(无序)满足可以猜出这个数,对\(p(2^{29}\le p<2^{30})\)取模
中文题解看不懂,看了一下午英文题解,还是感觉理解的不好,就按照现在的理解说一下吧(为啥这题是今天最简单的啊...
首先你写暴力的话有个结论
每个权值\(i\)都有过询问区间集合\(S_i\),\(S_i\)代表覆盖整个值的询问集合。如果有某两个值的询问集合是一样的,那么就猜不出来,否则一定可以猜出来。
考虑按照这个把每个权值编号\(a_i\),以最小表示法来编号,要求是若\(S_i=S_j\),那么有\(a_i=a_j\)
不必在乎这个怎么编号的,反正一定可以编出来,可以发现\(\{S\}\)对\(\{a\}\)是一个单射,于是我们转过去统计\(\{a\}\)的数量。
按照要求我们可以统计存在\(a_i=a_j\)的集合的数量,就是补集的数量。
如果对于一个集合,有一个\(a_i=a_j\),那么我们可以把\([i,j]\)区间内的给拿开统计,等价于把这个区间缩成一个点,点的权值为\(a_i\),把所有类似这样的区间都拿开的话,剩下的集合是没有重复元素的,也就是我们最终需要求得的答案,记为\(f_i\)
注意理解一下为什么缩掉区间构成的子问题是相同的。
然后我们需要得到把一个原来长度为\(L\)的问题缩到\(K\)的方案数,设为\(g_{L,K}\)
不妨先把有关\(f\)的转移写出来
即全集减去所有可以缩掉的方案(可缩的话一定不合法)
然后再考虑如何计算\(g\)
按照一些常见组合意义的东西的递推的方法,我们应该枚举最后一个一个集合大小。
首先不产生一个新的可缩的即\(g_{i-1,j-1}\)对\(g_{i,j}\)的贡献
然后枚举产生的缩掉的区间的大小\(k\),在这个区间里的询问集合是随意的,即为全集
那么转移就为
嗯,感觉还是没理解到本质的东西...
如果非要写一些思路的话
把拥有集合的性质通过编号转换到元素统计上去,这点和后缀自动机状态的构建好像有些相似,后缀自动机定义了每个子串的endpos集合,然后按照每个子串集合划分状态,进行统计。这种方法应该可以成为一种思路吧,这个题大概就是通过最小表示法编号。
然后我们统计数量时,真正涉及计算的时候要回到集合的意义上才能统计,比如这个题就是回到了区间内的集合是全集,才能统计的数量,也只有在这个地方可以简单的进行统计和计算了。
Code:
#include <cstdio>
const int N=510;
int n,mod,po[N*N],g[N][N],f[N],d[N];
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
#define mul(a,b) (1ll*a*b%mod)
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&mod);
po[0]=1;for(int i=1;i<=n*n;i++) po[i]=mul(po[i-1],2);
for(int i=1;i<=n;i++) d[i]=i*(i+1)/2;
g[0][0]=1;
for(register int i=1;i<=n;i++)
for(register int j=1;j<=i;j++)
{
g[i][j]=g[i-1][j-1];
for(register int k=0;k<=i-2;k++)
g[i][j]=add(g[i][j],mul(g[i-k-2][j-1],po[d[k]]));
}
for(register int i=1;i<=n;i++)
{
f[i]=po[d[i]];
for(register int j=1;j<i;j++)
f[i]=add(f[i],mod-mul(f[j],g[i][j]));
}
printf("%d\n",f[n]);
return 0;
}
2019.1.8