矩阵树定理学习笔记

不好意思本垃圾只会记结论

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还是瞎bb两句了

行列式

对矩阵

\[A=\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\dots&a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots&a_{2,n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&a_{n-1,3}&\dots&a_{n-1,n}\\a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&\dots&a_{n,n}\end{bmatrix} \]

它的行列式定义为

\[\det A=\sum (-1)^ra_{1,p_1}a_{2,p_2}\cdots a_{n,p_n} \]

其中\(p\)是\(1\sim n\)的排列，\(r\)是这个排列的逆序对数

求行列式

• \[A=\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\dots&a_{1,n}\\0&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots&a_{2,n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\dots&a_{n-1,n}\\0&0&0&\dots&a_{n,n}\end{bmatrix} \]

  这样类似的上or下三角矩阵，有\(\det A=\prod_{i=1}^n a_{i,i}\)

• 交换矩阵的任意两行or两列，矩阵的行列式变为原来的相反数。

  • 可以从元素不变，逆序对改变说明

  推论：矩阵有两行or两列的元素一样，矩阵的行列式为\(0\)

• 矩阵某行or某列全乘上\(k\)，那么矩阵的行列式也乘上\(k\)

  推论：可以提取某行or某列的公因数

  推论：某两行或某两列成系数，行列式为\(0\)

• 两个只有一行or一列不同的矩阵的行列式之和等于这一行or一列相加，其他不变元素的矩阵的行列式。

• 如果把矩阵的某一行(列)加上另一行(列)的k倍，则行列式的值不变。

• 于是我们可以使用高斯消元把矩阵削成三角形，然后直接求出来就行了。

  • 在\(R\)意义下做高斯校园还是用小数就可以了，最后输出\(.0lf\)
  • 在\(\bmod\)某些数的意义下，如果为质数比较好弄，如果不是质数，使用辗转相除法做，多一个\(\log\)，例题，小Z的房间

• 一些可以用的好东西

  • 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
  • 余子式：在\(n\)阶行列式中，把元素\(a_{i,j}\)所在第\(i\)行和第\(j\)行划去后，留下的\(n-1\)阶行列式叫元素\(a_{i,j}\)的余子式，记做\(M_{i,j}\)，定义代数余子式为\(A_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}\)
  • 你可以用它来找一些特殊矩阵的规律，然后说不定可以找到行列式的简单求法。

矩阵树定理

• 定义一个无向图\(G\)的度数矩阵\(D(G)\)为\(d_{i,i}\)为点\(i\)的度数，其余为\(0\)
• 定义一个无向图\(G\)的邻接矩阵\(A(G)\)，就是你不用前向星存边的那个存边矩阵。
• 定义一个无向图\(G\)的基尔霍夫矩阵\(C(G)=D(G)-A(G)\)
• \(G\)的所有不同生成树个数等于其基尔霍夫矩阵的\(n-1\)阶主子式的行列式的值
• 主子式：你把矩阵随便削一行和一列之后拼起来的矩阵。