【模板】exBSGS/Spoj3105 Mod

【模板】exBSGS/Spoj3105 Mod

题目描述

已知数\(a,p,b\)，求满足\(a^x\equiv b \pmod p\)的最小自然数\(x\)。

输入输出格式

输入格式：

每个测试文件中最多包含\(100\)组测试数据。

每组数据中，每行包含\(3\)个正整数\(a,p,b\)。

当\(a=p=b=0\)时，表示测试数据读入完全。

输出格式：

对于每组数据，输出一行。

如果无解，输出No Solution（不含引号），否则输出最小自然数解。

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BSGS

若\(A \perp p\)，那么\(\{A^x,x\le \varphi(p)\}\)遍历的剩余系\(\{A^{kx},x\le \varphi(p)\}\)一定也遍历，于是考虑枚举答案

\[A^x\equiv B \pmod p \]

采用分块的思想，设\(t=\sqrt p,x=kt-b\)，式子就变成了

\[A^{kt-b}\equiv B \pmod p \]

\[A^{kt}\equiv A^bB\pmod p \]

我们枚举\(x=0 \sim t\)，然后把得到的\(A^xB\)插到\(\tt{Hash}\)表中去。

然后枚举\((A^t)^k\)的\(k\)，查询\(\tt{Hash}\)表中有没有\(A^{kt}\)

exBSGS

如果\(p\)不是质数，存在无解的判定\((\gcd(A,p)\nmid B)\)且\(B\not=1\)(\(B=1\)特判\(x=0\))

然后考虑操作一波式子

\[A^x\equiv B \pmod p,d=\gcd(A,p) \]

把\(d\)除掉

\[A^{x-1}\frac{A}{d}\equiv \frac{B}{d}\pmod {\frac{p}{d}} \]

设\(C=\frac{A}{d},B'=\frac{B}{d},p'=\frac{p}{d}\)

原方程变为

\[CA\equiv B' \pmod {p'} \]

然后重复是否无解的判断并向下递归，直到\(A\perp p\)或者无解

然后\(BSGS\)即可，而常数\(C\)并不影响我们进行\(BSGS\)

复杂度？显然递归的深度是\(\log\)的，带上BSGS的就可以了。

Code:

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <unordered_map>
std::unordered_map <int,int> Hash;
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
#define mul(a,b,p) (1ll*(a)*(b)%p)
int exbsgs(int A,int B,int p)
{
    if(B==1) return 0;
    int ct=0,d,k=1;
    while((d=gcd(A,p))^1)
    {
        if(B%d) return -1;
        B/=d,p/=d,++ct;
        k=mul(k,A/d,p);
        if(k==B) return ct;
    }
    int t=sqrt(p)+1,kt=1;
    Hash.clear();
    for(int i=0;i<t;i++)
    {
        Hash[mul(kt,B,p)]=i;
        kt=mul(kt,A,p);
    }
    k=mul(k,kt,p);
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        if(Hash.find(k)!=Hash.end()) return i*t-Hash[k]+ct;
        k=mul(k,kt,p);
    }
    return -1;
}
int main()
{
    int a,p,b;
    scanf("%d%d%d",&a,&p,&b);
    while(a&&p&&b)
    {
        int ans=exbsgs(a,b,p);
        if(~ans) printf("%d\n",ans);
        else puts("No Solution");
        scanf("%d%d%d",&a,&p,&b);
    }
    return 0;
}

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2018.12.19