【CF438E】小朋友和二叉树 解题报告

【CF438E】小朋友和二叉树

Description

​ 我们的小朋友很喜欢计算机科学，而且尤其喜欢二叉树。
​ 考虑一个含有\(n\)个互异正整数的序列\(c_1,c_2,\dots,c_n\)。如果一棵带点权的有根二叉树满足其所有顶点的权值都在集合\(\{c_1,c_2,\dots,c_n\}\)中，我们的小朋友就会将其称作神犇的。并且他认为，一棵带点权的树的权值，是其所有顶点权值的总和。
​ 给出一个整数\(m\)，你能对于任意的\(s(1≤s≤m)\)计算出权值为\(s\)的神犇二叉树的个数吗？请参照样例以更好的理解什么样的两棵二叉树会被视为不同的。
​ 我们只需要知道答案关于\(998244353\)取模后的值。

Input

​ 第一行有\(2\)个整数 \(n,m(1≤n≤10^5,1≤m≤10^5)\).
​ 第二行有\(n\)个用空格隔开的互异的整数 \(c_1,c_2,…,c_n(1≤c[i]≤10^5)\).

Output

​ 输出\(m\)行，每行有一个整数。第\(i\)行应当含有权值恰为\(i\)的神犇二叉树的总数。请输出答案关于\(998244353\)取模后的结果。

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考虑\(DP\)，设\(f_i\)代表权值为\(i\)的二叉树的个数,\(C_i\)代表是否存在权值为\(i\)的节点

\[f_n=\sum_{i=1}^nC_i\sum_{j=0}^{n-i}f_jf_{n-i-j} \]

\[f_0=1 \]

然后我们发现长得很像卷积，但是没法好好卷自己。

于是构造一波生成函数，直接表示为系数就行了

\[F=C*F*F+1 \]

关于这个\(+1\)，我的理解是，加了一个常数项为\(1\)的多项式表示\(f_0=1\)

然后解一下二次方程，得到

\[F=\frac{1 \pm \sqrt{1-4C}}{2C} \]

然后讨论一下发现需要取+

再次化简

\[F=\frac{2}{1+\sqrt{1-4C}} \]

套用多项式求逆+开根就可以了

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Code:

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
const int N=(1<<20)+10;
const int mod=998244353,Gi=332748118,i2=499122177;
int read()
{
    int x=0;char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) c=getchar();
    while(isdigit(c)) {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x;
}
#define add(x,y) ((x+y)%mod)
#define mul(x,y) (1ll*(x)*(y)%mod)
int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}
int C[N],sq[2][N],b[2][N],A[N],B[N],turn[N];
void NTT(int *a,int len,int typ)
{
    for(int i=1;i<len;i++) if(i<turn[i]) std::swap(a[i],a[turn[i]]);
    for(int le=1;le<len;le<<=1)
    {
        int wn=qp(typ?3:Gi,(mod-1)/(le<<1));
        for(int p=0;p<len;p+=le<<1)
        {
            int w=1;
            for(int i=p;i<p+le;i++,w=mul(w,wn))
            {
                int tx=a[i],ty=mul(w,a[i+le]);
                a[i]=add(tx,ty);
                a[i+le]=add(tx,mod-ty);
            }
        }
    }
    if(!typ)
    {
        int inv=qp(len,mod-2);
        for(int i=0;i<len;i++) a[i]=mul(a[i],inv);
    }
}
void polymul(int *a,int *b,int len)
{
    int L=-1;for(int i=1;i<len;i<<=1) ++L;
    for(int i=0;i<len;i++) turn[i]=turn[i>>1]>>1|(i&1)<<L,A[i]=B[i]=0;
    for(int i=0;i<len>>1;i++) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
    NTT(A,len,1),NTT(B,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) A[i]=mul(A[i],B[i]);
    NTT(A,len,0);
    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=A[i];
}
void polyinv(int *a,int n)
{
    int len=2,cur=0;
    b[cur][0]=qp(a[0],mod-2);
    while(len<=(n<<2))
    {
        cur^=1;
        for(int i=0;i<len>>1;i++) b[cur][i]=add(b[cur^1][i],b[cur^1][i]);
        polymul(b[cur^1],b[cur^1],len);
        polymul(b[cur^1],a,len);
        for(int i=0;i<len;i++) b[cur][i]=add(b[cur][i],mod-b[cur^1][i]);
        len<<=1;
    }
    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=b[cur][i];
}
void polysqrt(int *a,int n)
{
    int len=2,cur=0;
    sq[cur][0]=1;
    while(len<=(n<<2))
    {
        cur^=1;
        for(int i=0;i<len>>1;i++) sq[cur][i]=mul(sq[cur^1][i],i2);
        for(int i=0;i<len>>1;i++) sq[cur^1][i]=add(sq[cur^1][i],sq[cur^1][i]);
        polyinv(sq[cur^1],len);
        polymul(sq[cur^1],a,len);
        for(int i=0;i<len;i++) sq[cur][i]=add(sq[cur][i],sq[cur^1][i]);
        len<<=1;
    }
    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=sq[cur][i];
}
int main()
{
    int n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) C[read()]=1;
    ++m;C[0]=1;
    for(int i=1;i<m;i++) C[i]=(mod-(C[i]<<2))%mod;
    polysqrt(C,m);
    C[0]=add(C[0],1);
    polyinv(C,m);
    for(int i=0;i<m;i++) C[i]=add(C[i],C[i]);
    for(int i=1;i<m;i++) printf("%d\n",C[i]);
    return 0;
}

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2018.12.17