斯特林数学习笔记
斯特林数学习笔记
第二类斯特林数
-
定义：将\(n\)个物品分成\(k\)个非空集合的方案数，记作\(\left\{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\}\)，称为斯特林子集数.
-
递推：
\[\left\{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\}=k\left\{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}\right\}+\left\{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}\right\} \]意义：放入最后一个物品时，若新成立一个集合，方案数为\(\left\{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}\right\}\)，若加入原来的集合，方案数为\(k\left\{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}\right\}\).
第一类斯特林数
-
定义：将\(n\)个物品分成\(k\)个非空轮换的方案数，记作\(\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]\)，称为斯特林轮换数.
-
轮换？
轮换即为环形排列，如\([A,B,C,D]=[B,C,D,A]=[C,D,A,B]=[D,A,B,C]\)
\(n\)元素的轮换的方案数为\((n-1)!\)
-
递推
\[\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]=(n-1)\left[\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}\right] \]意义：放入最后一个物品，新成立方案数为\(\left[\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}\right]\)，放在前面的集合，每个元素可以产生一个方案，为\((n-1)\left[\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}\right]\)，可以从一个大小为\(n\)的轮换放进去一个元素，方案数是\(n\)来说明，其实就是一个求和。
-
\(n\)元素的轮换与\(n\)元素的排列构成双射，有
\[\sum\limits_{k=0}^n\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]=n! \]举个例子感性说明一下，比如\(123456\)与\(361254\)，将它们如下排列
\[\begin{matrix}1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\\3\ 6\ 1\ 2\ 5\ 4\end{matrix} \]然后你发现\(1->3,3->1;2->6,6->4,4->2;5->5\)，那么\(361254\)可以映射到轮换\([1,3][2,6,4][5]\)上了。
证明就是一般化的说明这个过程。
斯特林数与幂
-
上升幂与下降幂
下降幂：\(x^{\underline n}=x(x-1)\dots(x-n+1)\)
上升幂：\(x^{\overline n}=x(x+1)\dots(x+n-1)\)
-
斯特林子集数是产生通常幂的下降幂的系数。
\[x^n=\sum\limits_{k=0}^n\left\{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\}x^{\underline k} \] -
斯特林轮换数是产生上升幂的通常幂的系数。
\[x^{\overline n}=\sum\limits_{k=0}^n\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]x^k \]以上两者均可用数学归纳法证明。
斯特林反演
-
证明没怎么看懂，也没意会到，先放着，以后做题了慢慢想
\[x^{\underline n}=\sum\limits_{k=0}^n\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right](-1)^{n-k}x^k \]\[x^n=\sum\limits_{k=0}^n\left\{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\}(-1)^{n-k}x^{\overline k} \]据说使用了这个式子
\[x^{\underline n}=(-1)^n(-x)^{\overline n} \]
参考资料
具体数学第二版
