96. Unique Binary Search Trees

96. Unique Binary Search Trees

0. 参考文献

序号	文献
1	leetcode 96. Unique Binary Search Trees
2	[LeetCode] 96. Unique Binary Search Trees 独一无二的二叉搜索树

1. 题目

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1 ... n?

Example:

Input: 3
Output: 5
Explanation:
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

2.思路

这道题求解的是指定1-n个数字，可以求出多少中不同的二叉搜索树(左子树必须小于根节点，右子树大于根节点)。本题可以采用动态规划的方式求解：

我们设G(n) 是n个数字可以构造的树的总数。则这个总数必然是 从1-n个数字轮流当根节点的总和。那么一个数字当根节点的时候，必然[1-i-1] 是小于i的，[i+1 - n ]是大于i的。那么当i为节点的时候，它能构造的总的二叉树的数量就是[1-i-1] 能构造的左子树数和[ i+1 - n ]能构造的右子树的数的和。我们设F(i,n) 是i能构建的树的总和。因此有：

G(n) = F(1,n)+F(2,n) +F(3,n) ….. F(n,n)

那么F(i,n)怎么转换呢？根据上面的描述F(i,n)能构造的总的二叉树的数量就是[1-i-1] 能构造的左子树数和[ i+1 - n ]能构造的右子树的数的和。我们设F(i,n) 是i能构建的树的总和。因此F(i,n) = G(i-1)G(n-i)。因此G(n)可以转换为:

G(n) = G(0)G(n-1)+G(1)G(n-2)+...+G(n-1)*G(0)

到这里思路就很清晰了，接下来看下实现

3. 实现

class Solution(object):
    def numTrees(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        l = n + 1 
        dp = [0] * l
        dp[0] = 1 
        dp[1] = 1 
        for i in range(2,l):
            for j in range(1,i+1):
                dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j]
                
        return dp[l-1]