518. 零钱兑换 II（c++）
题目
给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
示例 1:
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2:
输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。
示例 3:
输入: amount = 10, coins = [10]
输出: 1
注意，你可以假设：
- 0 <= amount (总金额) <= 5000
- 1 <= coin (硬币面额) <= 5000
- 硬币种类不超过 500 种
- 结果符合 32 位符号整数
分析与题解
二维数组存储状态值
根据题意，每种面额的硬币无限提供，所以是完全背包问题。
我们设置二维数组vector<vector<int>> dp[i][j]用来存储前i枚硬币种类的前提下，能凑出金额j的可能情况。
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(amount + 1, 0));
对于base case的初始化，我们只需要考虑当凑数的金额数值为0时的特殊情况，即dp[i][0]。此时无论考虑的硬币种类是多少，都有唯一的方法凑出数额0，那就是什么硬币都不选。
同样是比较第i个硬币面额和当前剩余金额之前的关系，需要注意的是第i个硬币在coins中对于的下标是coins[i - 1]：
- 如果
j < coins[i - 1]，那么无法使用第i枚面额的硬币。只能使用前面i-1种硬币，此时金额数额没有发生变化。即dp[i][j] = dp[i - 1][j]。 - 如果
j >= coins[i - 1]，那么可以使用一枚第i种面额的硬币。此时金额数额减去coins[i - 1]的面值后，仍然可以从前i枚硬币中进行选择。
综上，状态转移方程为：
\[\begin{cases}
dp[i][j] = dp[i - 1][j],\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ if (j < coins[i - 1])\\
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i - 1]],\quad if (j >= coins[i - 1])\\
\end{cases}
\]
完整代码如下：
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
int n = coins.size();
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(amount + 1, 0));
// chus初始化base case
for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
dp[i][0] = 1;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j < amount + 1; j++) {
// 注意第i个元素在coins中对应的下标为i-1
int val = coins[i - 1];
if (j < val)
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else if (j >= val)
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - val];
}
}
return dp[n][amount];
}
};
一维数组压缩存储空间
需要注意的是，与01背包不同的是，所有硬币是完全供应的。这直接导致了在j >= coins[i - 1]的情况下，两者的状态转移方程发生变化：
- 01背包：
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - coins[i - 1]] - 完全背包：
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i - 1]]
区别在于，使用一枚第i个面额的硬币后，仍然将前i枚硬币计入考虑范围，而不是前i-1枚。这在二维数组的代码编写中没有太大的影响，但是由于一维数组只记录了前一行的状态值，所以对于01背包来说，第i - 1行靠前的状态量会影响第i行靠后的状态的更新。所以需要进行倒叙。而完全背包问题，第i行靠前的状态量会影响第i行靠后的状态的更新，所以需要正序遍历。
另外由于j < coin[i - 1]的情况，我们不会进行变更。所以可以简化代码结构，直接将正序遍历的初始值设置为当前硬币的面额即可。
完整代码如下：
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
int n = coins.size();
vector<int> dp(amount + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int& coin : coins) {
for (int j = coin; j <= amount; j++) {
dp[j] += dp[j - coin];
}
}
return dp[amount];
}
};
