剑指 Offer 14- I. 剪绳子（C++）
题目描述
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示：
- 2 <= n <= 58
分析与题解
这是一个典型动态规划问题。
先确定状态，也就是原问题和子问题中变化的量。很明显是绳子的长度n。
然后是如何选择与择优，对每种状态作出何种选择改变当前状态。我们设置函数dpBacktrack用来表示长度为n的绳子分段后的最大乘积。那么对于新的绳子长度的讨论如下：
for (int i = 0; i <= n / 2; i++) {
maxSum = max(maxSum, dpBacktrack(i) * dpBacktrack(n - i));
}
最后考虑base case：这里我们需要注意，题设条件提到绳子长度n > 1并且分段段数m > 1，那么当绳子长度为2或者3时，不进行剪切对于乘积最有利，但受限于绳子段数的限制必须进行剪切，所以2、3剪切的最大乘积分别为1和2。但当绳子长度大于等于4之后，再考虑包括3以内绳长的剪切策略时，就不受段数的限制了，因此保持原来的长度有利于最大乘积。
另外考虑到递归的重复计算，会导致指数级别的时间复杂度。我们使用备忘表将已经计算的最大乘积进行存储，避免重复计算。
代码如下：
class Solution {
public:
int dpBacktrack(vector<int>& table, int n) {
if(n <= 3) return n;
int maxSum = -1;
for (int i = 1; i <= n / 2; i++) {
if (table[i] == 0)
table[i] = dpBacktrack(table, i);
if (table[n - i] == 0)
table[n - i] = dpBacktrack(table, n - i);
maxSum = max(maxSum, table[i] * table[n - i]);
}
return maxSum;
}
int cuttingRope(int n) {
if (n == 1 || n == 2) return 1;
if (n == 3) return 2;
vector<int> table(n, 0);
return dpBacktrack(table, n);
}
};
