51. N 皇后（C++）
题目
n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
上图为 8 皇后问题的一种解法。
给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。
每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
示例：
输入：4
输出：[
[".Q..", // 解法 1
"...Q",
"Q...",
"..Q."],
["..Q.", // 解法 2
"Q...",
"...Q",
".Q.."]
]
解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。
提示：
- 皇后彼此不能相互攻击，也就是说：任何两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。
分析与题解
这题本质上也是回溯问题，与博主的另外两篇全排列、全排列Ⅱ原理相通。由于皇后的特性，其不能在同一行，同一列，以及同一对角斜线上。解题思路第一步是分析如何做决策。因为要在NxN的棋盘上摆N个皇后，且皇后不能在同一行，所以我们可以一行一行的放置皇后，每行放一个。
当然一列一列放也可以
①首先定义一个全局的棋盘状态，因为题目要求返回vector<vector<string>>,所以定义棋盘状态为：
vector<string> board(n, string(n, '.'));
即所有的位置初始化为不放置皇后。
②定义回溯函数（即深度优先搜索的递归函数）
void backtrack(vector<string>& board, int row)
首先我们需要传入棋盘状态board, 我们需要不断的修改这个状态，也需要用这个状态来判断某位置是否可以放置皇后。然后，因为我们是一行一行搜索的，所以需要有参数row表示当前是哪一行。
笔者个人喜欢把返回的结果
vector<vector<string>>& res作为全局变量，从而减少回溯函数的形参个数，当然加上也不影响算法的核心思想。
③回溯的终止条件
if(row==board.size()){
res.emplace_back(board);
return;
}
我们一行一行搜索，每搜索成功一行，将row+1并再次递归调用 backtrack 函数，因此当最后一行搜索成功后，row就等于N (row从0开始)，只要判断 row==board.size()即可只此时的棋盘状态已经成功放置了N个皇后。
④核心搜索过程
for(int col=0; col<n; ++col){
if(!isValid(board, row, col)){
continue;
}
board[row][col] = 'Q';
backtrack(board, row+1, res);
board[row][col] = '.';
}
backtrack函数中我们针对当前row的每一列进行选择，首先要根据N皇后的规则进行剪枝，如果满足条件则棋盘当前位置(row,col)被放置上一个皇后，然后我们继续搜索下一层：backtrack(board, row+1, res); 这会在当前的状态下一直递归下去，直到成功或失败退出。无论是否成功，从此处的下一层调用返回本层后，我们撤销当前位置放置的皇后（回溯），然后选择下一列进行检测.如果位置有效，则继续向下一层搜索。
⑤isValid函数判断有效性
该函数判断当前位置(row,col)落子皇后是否有效，只需要在当前状态的基础上检查即可。
每次在一行中放置皇后时，需要判定当前位置是否有效，因为我们逐行放置皇后，所以不再需要讨论同一行多个皇后的情况。总共只从三个方向进行考虑：
- 遍历该行的每一列的位置，保证同一列不存在两个皇后
- 遍历当前皇后所有右上角方向的元素，保证右斜对角不存在两个皇后
- 遍历当前皇后所有左上角方向的元素，保证左斜对角不存在两个皇后
代码如下：
bool isValid(vector<string>& board, int row, int col){
//此时row不能代表总列数
//先获取总列数
int n = board.size();
//先考虑同列的皇后
for(int i=0;i<row;i++){
if(board[i][col]=='Q')
return false;
}
//再考虑右上角的情况
//因为row行以下仍未落子
//所以只考虑 [0, row-1]行内的对角情况
for(int i=row-1, j=col+1;i>=0 && j<n;i--,j++){
if(board[i][j]=='Q')
return false;
}
//同右上，再考虑左上斜对角的情况
for(int i=row-1, j=col-1;i>=0 && j>=0;i--,j--){
if(board[i][j]=='Q')
return false;
}
return true;
}
需要注意的是，在实际编写代码时，isValid函数中只对左/右上半部分的棋盘格进行了有效性检测。因为是row从0开始向下搜索的，row行以下的棋盘仍未落子，所以只需向上检查[0~row-1]的行中是否有和当前位置冲突的皇后。
最后附上完整代码：
class Solution {
public:
//使用全局变量
vector<vector<string>> res;
void backtrack(int row, vector<string>& board){
//先判断终止条件
//row从0开始计数
if(board.size() == row){
res.emplace_back(board);
return;
}
//遍历棋盘同一行的所有列
//此时row不能代表完整列数
int n = board.size();
for(int col=0;col<n;col++){
//如果不是有效站位，就只能跳过
if(!isValid(board, row, col)) continue;
//执行路径
board[row][col] = 'Q';
//再讨论下一行的落子选择
backtrack(row+1, board);
//撤销路径
board[row][col] = '.';
}
}
bool isValid(vector<string>& board, int row, int col){
//此时row不能代表总列数
//先获取总列数
int n = board.size();
//先考虑同列的皇后
for(int i=0;i<row;i++){
if(board[i][col]=='Q')
return false;
}
//再考虑右上角的情况
//因为row行以下仍未落子
//所以只考虑 [0, row-1]行内的对角情况
for(int i=row-1, j=col+1;i>=0 && j<n;i--,j++){
if(board[i][j]=='Q')
return false;
}
//同右上，再考虑左上斜对角的情况
for(int i=row-1, j=col-1;i>=0 && j>=0;i--,j--){
if(board[i][j]=='Q')
return false;
}
return true;
}
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
vector<string> board(n, string(n, '.'));
backtrack(0, board);
return res;
}
};
