1025. 除数博弈（C++）
题目
爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。
最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：
选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
用 N - x 替换黑板上的数字 N 。
如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。
只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 False。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。
示例 1：
输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。
示例 2：
输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。
提示：
- 1 <= N <= 1000
分析与题解
自底向上递推
我们先考虑简单的一些基本情况：
- N=1 的时候，区间 (0, 1) 中没有整数是 n 的因数，所以此时 Alice 败。
- N=2 的时候，Alice 只能拿 1，N变成 1，Bob 无法继续操作，故 Alice 胜。
- N=3 的时候，Alice 只能拿 1，N 变成 2，根据 N=2 的结论，我们知道此时 Bob 会获胜，Alice 败。
- N=4 的时候，Alice 能拿 1 或 2，如果 Alice 拿 1，根据 N=3 的结论，Bob 会失败，Alice 会获胜。
- N=5 的时候，Alice 只能拿 1，根据 N=4 的结论，Alice 会失败。
动态规划的重点是找到状态转移方程。我们先确定题目的状态，因此定义res[i]表示数字为i时先手的胜负情况：
- true表示先手胜利
- false表示先手失败
如果AC在res[k]的情况时，她对于多种公约数的情况中，存在一种情况使得变为res[m]（m<k）为负，即Bob此时先手时必输，那么就认为res[k]的值为true。这里就涉及遍历非本身的其他公约数的情况。
题目规定两人状态均最佳，因此只要存在一种胜利手段，AC就能够达成
相反，如果遍历公约数仍未找到，我们就认为AC没有制胜的手段。
代码如下：
class Solution {
public:
bool divisorGame(int N) {
if(N==1) return false;
if(N==2) return true;
//res[i]表示在数字为i时，先手人的胜负
vector<int> res(N+1, false);
//先确定特殊情况的结果
res[1] = false;
res[2] = true;
for(int i=3;i<=N;i++){
for(int j=1;j<i;j++){
//如果在AC先手后，i-j此时操作(Bob)的胜负
if(i%j==0 && res[i-j]==false){
res[i]=true;
//因为状态最佳，只要出现必胜情况，即可退出子循环
break;
}
}
}
return res[N];
}
};
找规律（神仙做法）
- N=1 的时候，区间 (0, 1) 中没有整数是 n 的因数，所以此时 Alice 败。
- N=2 的时候，Alice 只能拿 1，N变成 1，Bob 无法继续操作，故 Alice 胜。
- N=3 的时候，Alice 只能拿 1，N 变成 2，根据 N=2 的结论，我们知道此时 Bob 会获胜，Alice 败。
- N=4 的时候，Alice 能拿 1 或 2，如果 Alice 拿 1，根据 N=3 的结论，Bob 会失败，Alice 会获胜。
- N=5 的时候，Alice 只能拿 1，根据 N=4 的结论，Alice 会失败。
- N=6 的时候，Alice能拿1或2或3，如果Alice拿1，根据N=5的结论，此时Bob先手必定失败，Alice会获胜。
通过上述的简单情况的罗列，你兴许可以推断出，N为偶数时Alice能赢，而N为奇数时Alice会输。
毕竟只是大胆的猜测，接下来可以通过数学归纳法尝试证明该结论。
（1）特殊情况
当N=1时，为奇数，Alice失败
当N=2时，为偶数，Alice胜利
（2）n>2时，假设n<=K时该假设成立
通过以上的罗列知道k值至少为6
则当N=k+1时，又根据K的奇偶性进行分类讨论：
①K为偶数时，假设x是k+1的因数，x必然为奇数（k+1为奇数，奇奇为奇），那么k+1-x<k，此时(k+1-x)满足我们之前提出的假设，奇-奇=偶，所以（k+1-x)为偶数，此时Bob先手并且数字为偶数，所以Alice在奇数的情况必输。
②K为奇数时，假设x是K+1的因数，x可能为奇数或偶数，我们只需要找到一种可行的制胜手段即可。x为奇数时，(k+1-x)为奇数，此时Bob先手必然为负，所以Alice必然胜利。
得证。
所以最终题目就变成了判断N是奇偶性即可，代码如下：
class Solution {
public:
bool divisorGame(int N) {
if(N%2==0) return true;
else return false;
}
};
