【题解】P1891 疯狂 LCM

【题解】P1891 疯狂 LCM

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求 ${\displaystyle \sum _{i=1}^n\mathrm{lcm}(i,n)}$

容易想到，原式可以化为 ${\displaystyle n\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{i}{gcd(i,n)}}}$

类似 P2303的做法 ，$gcd(i,n)$ 可以化为 ${\displaystyle \sum _{d\mid n}d[gcd(i,n)=d]}$

所以就得到了 ${\displaystyle n\sum _{i=1}^n\sum _{d\mid n}{\displaystyle \frac{i}{d[gcd(i,n)=d]}}}$

略微整理，得到 ${\displaystyle n\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{i}{d}}[gcd(i,n)=d]}$

显然，对答案有贡献的 $i$ 一定是 $d$ 的倍数，即 $i=kd$

于是就得到了 ${\displaystyle n\sum _{d|n}\sum _{k=1}^{kd\le n}k[gcd(kd,n)=d]}$

整理得 ${\displaystyle n\sum _{d|n}\sum _{k=1}^{\frac{n}{d}}k[gcd(k,{\displaystyle \frac{n}{d}})=1]}$

然后考虑 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\frac{n}{d}}k[gcd(k,{\displaystyle \frac{n}{d}})=1]}$ 这一坨的意义：与 ${\displaystyle \frac{n}{d}}$ 互质的所有数的和。

因为 $gcd(k,{\displaystyle \frac{n}{d}})=gcd({\displaystyle \frac{n}{d}},{\displaystyle \frac{n}{d}}-k)$ ，所以 $k$ 是成对出现的，且每一对的 $k$ 的和为 ${\displaystyle \frac{n}{d}}$， 一共有 $\lceil {\displaystyle \frac{\phi ({\displaystyle \frac{n}{d}})}{2}}\rceil$ 对

所以，${\displaystyle \sum _{k=1}^{\frac{n}{d}}k[gcd(k,{\displaystyle \frac{n}{d}})=1]=\lceil {\displaystyle \frac{\phi ({\displaystyle \frac{n}{d}})}{2}}\rceil \times d}$

因此，原式可以被整理为 ${\displaystyle n\sum _{d|n}d\lceil {\displaystyle \frac{\phi ({\displaystyle \frac{n}{d}})}{2}}\rceil }$