【题解】P1891 疯狂 LCM

【题解】P1891 疯狂 LCM

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求 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n \operatorname{lcm}(i,n)\)

容易想到，原式可以化为 \(\displaystyle n \sum_{i=1}^n\dfrac{i}{\gcd(i,n)}\)

类似 P2303的做法 ，\(\gcd(i,n)\) 可以化为 \(\displaystyle\sum_{d \mid n}d[\gcd(i,n)=d]\)

所以就得到了 \(\displaystyle n \sum_{i=1}^n\sum_{d \mid n}\dfrac{i}{d[\gcd(i,n)=d]}\)

略微整理，得到 \(\displaystyle n\sum_{d \mid n}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{i}{d}[\gcd(i,n)=d]\)

显然，对答案有贡献的 \(i\) 一定是 \(d\) 的倍数，即 \(i = kd\)

于是就得到了 \(\displaystyle n \sum_{d|n}\sum_{k=1}^{kd\leq n}k[\gcd(kd,n)=d]\)

整理得 \(\displaystyle n \sum_{d|n}\sum_{k=1}^{\frac{n}{d}}k[\gcd(k,\dfrac{n}{d})=1]\)

然后考虑 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\frac{n}{d}}k[\gcd(k,\dfrac{n}{d})=1]\) 这一坨的意义：与 \(\dfrac{n}{d}\) 互质的所有数的和。

因为 \(\gcd(k,\dfrac{n}{d})=\gcd(\dfrac{n}{d},\dfrac{n}{d}-k)\) ，所以 \(k\) 是成对出现的，且每一对的 \(k\) 的和为 \(\dfrac{n}{d}\)， 一共有 \(\lceil\dfrac{\varphi(\dfrac{n}{d})}{2}\rceil\) 对

所以，\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\frac{n}{d}}k[\gcd(k,\dfrac{n}{d})=1]=\lceil\dfrac{\varphi(\dfrac{n}{d})}{2}\rceil\times d\)

因此，原式可以被整理为 \(\displaystyle n\sum_{d|n}d\left\lceil\dfrac{\varphi(\dfrac{n}{d})}{2}\right\rceil\)