220727 总结
220727 总结
做题记录
设当前已经有了 \(i\) 种图案，共有 \(n\) 种图案。
那么，下一次的图案有 \(\dfrac{i}{n}\) 的概率是已有的图案， \(\dfrac{n-i}{n}\) 的概率是还没有的图案。
由于概率为 \(p\) 的事件期望在 \(\dfrac{1}{p}\) 次后发生，所以得到新图案的期望为 \(\dfrac{n}{n-i}\)。
定义 \(E(i)\) 表示已有 \(i\) 种图案，抽到第 \(i+1\) 种图案的期望，
根据期望的线性性质，抽齐所有图案的次数期望为 \(\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}E(i)\)
展开得 \(\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\dfrac{n}{n-i}=n\sum_{i=0}^{n-1}\dfrac{1}{n-i}=n\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i}\)
所以抽齐所有图案的次数期望为 \(\displaystyle n\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i}\)
（输出挺麻烦的还）
设当前已经有了 \(i\) 种邮票，共 \(n\) 种邮票。
下一次的邮票有 \(\dfrac{i}{n}\) 的概率是已有的邮票，有 \(\dfrac{n-i}{n}\) 的概率是没有的邮票。
设 \(f_i\) 表示现在取到了 \(i\) 种邮票，要取完剩下种类邮票的期望次数。
显然 \(f_i=\dfrac{i}{n}\times f_i+\dfrac{n-i}{n}\times f_{i+1}+1\)
所以为什么要加这个一
移项化简可得， \(f_i=f_{i+1}+\dfrac{n}{n-i}\)
设 \(g_i\) 表示现在取到了 \(i\) 种邮票，要取完剩下种类邮票的期望次数。
\(g_i=\dfrac{i}{n}\times(g_i+f_i+1)+\dfrac{n-i}{n}\times (g_{i+1}+f_{i+1}+1)\)
化简得 \(g_i=\dfrac{i}{n-i}\times f_i+g_{i+1}+f_{i+1}+\dfrac{n}{n-i}\)
答案即为 \(g_0\)
设总共有 \(N\) 块晶体，即 \(N=\sum^7_{i=1}a_i\)。
首先考虑前七个晶体触发大招的概率。
显然为 \(\dfrac{a_1}{N}\times \dfrac{a_2}{N-1}\times \dfrac{a_3}{N-2}\times \dfrac{a_4}{N-3}\times \dfrac{a_5}{N-4}\times \dfrac{a_6}{N-5}\times \dfrac{a_7}{N-6}\)
由于只考虑前 \(7\) 个晶体，所以它们的顺序可以任意变换。
因此前 \(7\) 个晶体触发大招的概率为 \(7! \times \dfrac{a_1}{N}\times \dfrac{a_2}{N-1}\times \dfrac{a_3}{N-2}\times \dfrac{a_4}{N-3}\times \dfrac{a_5}{N-4}\times \dfrac{a_6}{N-5}\times \dfrac{a_7}{N-6}\)
接下来考虑第 \(2\) 到 \(8\) 个晶体触发大招的概率。
若第一个晶体为 \(a_1\) ，则 第 \(2\) 到 \(8\) 个晶体触发大招的概率为：
\(7! \times \dfrac{a_1}{N}\times \dfrac{a_2}{N-1}\times \dfrac{a_3}{N-2}\times \dfrac{a_4}{N-3}\times \dfrac{a_5}{N-4}\times \dfrac{a_6}{N-5}\times \dfrac{a_7}{N-6}\times\dfrac{a_1-1}{N-7}\)
若第一个晶体为 \(a_2\) ，则 第 \(2\) 到 \(8\) 个晶体触发大招的概率为：
\(7! \times \dfrac{a_2}{N}\times \dfrac{a_1}{N-1}\times \dfrac{a_3}{N-2}\times \dfrac{a_4}{N-3}\times \dfrac{a_5}{N-4}\times \dfrac{a_6}{N-5}\times \dfrac{a_7}{N-6}\times\dfrac{a_2-1}{N-7}\)
可以看到，前 \(7\) 项没有改变，而首项分别为 \(7\) 种晶体的 \(7\) 中情况末项和为 \(\displaystyle\sum_{i=1}^7\dfrac{a_i-1}{N-7}=\dfrac{1}{N-7}((\sum_{i=1}^7a_i)-7)=1\)
因此最终结果就是 \(7!\times (N-6)\times \dfrac{a_1}{N}\times \dfrac{a_2}{N-1}\times \dfrac{a_3}{N-2}\times \dfrac{a_4}{N-3}\times \dfrac{a_5}{N-4}\times \dfrac{a_6}{N-5}\times \dfrac{a_7}{N-6}\)
一个节点仅能在其祖先节点或自身节点被删除的同时删除。
所以一个节点 \(i\) 有 \(\text{dep}_i\) 种机会被删除掉。
但是如果先删除了该节点的祖先节点，那么该节点就不会被选中并删除。
那么节点 \(i\) 就有 \(\dfrac{1}{\text{dep}_i}\) 的概率以 \(1\) 的删除次数被删除。
根据 \(E(X)=\sum_ip_ix_i\) 可求，答案为 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{\text{dep}_i}\)
