期望

期望

本文几乎全篇摘自 IOI中国国家候选队论文 - 《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》2009 - 汤可因 （抄一遍确实又理解了一些

期望的数学定义

离散的随机变量：能够按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间的随机变量。

连续的随机变量：变量的取值可以是在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的的随机变量。

如同时掷的 \(n\) 个硬币中有 \(k\) 个硬币正面朝上，由于 \(k\) 只能取 \([1,20]\) 内的所有自然数，所以 \(k\) 可以一一列出， \(k\) 是一个离散型随机变量。

如公交车 \(15\) 分钟来一辆，某人在站台等车时间 \(t\) 就可以取 \([0,15)\) 内的任意实数，变量的取值可以连续， \(t\) 是一个连续型随机变量。

如果 \(X\) 是一个离散的随机变量，其输出值为 \(x_1,x_2,\dots\) ，各输出值相应的概率是 \(p_1,p_2,\dots\) （概率和为 \(1\)） 那么期望值 \(E(X)=\sum_ip_ix_i\)。

以掷骰子为例， \(X\) 表示掷出的点数，\(P(X=1),P(X=2),\cdots,P(X=6)\) 均为 \(\dfrac{1}{6}\) ，则 \(E(X)=1\times\dfrac{1}{6}+1\times\dfrac{2}{6}+\cdots1\times\dfrac{6}{6}=3.5\)

期望的线性性质

对于任意随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 以及常量 \(a\) 和 \(b\) ，有 \(E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\)

当两个随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 独立 且各自都有一个已定义的期望时，有 \(E(XY)=E(X)\cdot E(Y)\)

全概率公式

假设 \(\{B_n \mid n=1,2,3,\dots\}\) 是一个样本空间的有限或者可数无限的分割，且每个集合 \(B_n\) 是一个可测集合，则最任意事件 \(A\) 有全概率公式：

\(P(A)=\displaystyle\sum_nP(A\mid B_n)P(B_n)\)

其中 \(P(A \mid B)\) 是 \(B\) 发生后 \(A\) 的条件概率。

看了一些网上对全概率公式的解释，我觉得全概率公式大概可以表达为

发生某事的概率为 \(P(B_n)\) ，发生该事后有 \(P(A\mid B_n)\) 的概率发生事件 \(A\)。

共 \(n\) 个可能发生的事件 \(B\) ，那么发生事件 \(A\) 的概率就是所有的发生 \(B\) 事件后发生事件 \(A\) 的概率和。

条件期望与全期望公式

当 \(X=x_i\) 时，随机变量 \(Y\) 的数学期望以 \(E(Y\mid X=x_i)\) 表示。

全期望公式：

\(E(Y)=E(E(Y\mid X))=\displaystyle\sum_i P(X=x_i)E(Y\mid X=x_i)\)

如一项工作由甲一个人完成平均需要 \(4\) 小时，而乙有 \(0.4\) 的概率来帮忙，两个人一起完成平均需要 \(3\) 小时。

若用 \(X\) 表示完成该工作的人数，\(Y\) 表示完成工作的期望时间，

代入公式，得

\(\begin{aligned}E(Y)&=P(X=1)\cdot E(Y\mid X=1)+P(X=2)\cdot E(Y\mid X=2)\\&=(1-0.4)\times 4+0.4\times3\\&=3.6\end{aligned}\)