组合数

组合数

定义

• 从 $n$ 个物品中选 $m$ 个物品的方案数。
• 记作 $C_n^m$ 或 $C(n,m)$ 或 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})$。
• $C_n^m={\displaystyle \frac{n!}{m!(n-m)!}}$
• $C_n^m=C_{n-1}m-1+C_{n-1}^m$

性质

1. $C_n^m=C_n^{n-m}$
2. $C_n^m=\sum _{i=0}^{n-1}{C}_i^{m-1}$
3. $m\times C_n^m=n\times C_{n-1}^{m-1}$
4. $\sum _{i=0}^n{C}_n^i=2^n$

代码

莫名其妙拿了个次优解（？

利用乘法逆元快速求解 查询复杂度 $O(\log M)$ ，$M$ 为模数。

仅适用于模数为质数的情况。

ll QuickPow(ll a,ll b){
	ll res = 1;
	while(b){
		if(b&1) res = res * a % MOD;
		a = a * a % MOD;
		b >>= 1;
	}
	return res % MOD;
}
 
ll fro[maxN];
 
inline void pre(ll n){
	fro[0] = 1;
	for(ll i = 1;i<=n;i++) fro[i] = fro[i-1] * i % MOD;
}
 
inline ll inv(ll n){
	return QuickPow(n,MOD-2) % MOD;
}
 
inline ll C(ll n,ll m){
	if(n < m) return 0;
	return fro[n] * inv(fro[m])% MOD * inv(fro[n-m]) % MOD;
}

卡特兰数

• 简单来说，卡特兰数就是一个有规律的数列，在坐标图中可以表示为：从原点 $(0,0)$ 出发，每次向 $x$ 轴或者 $y$ 轴正方向移动 $1$ 个单位，直到到达$(n,n)$点，且在移动过程中不越过第一象限平分线的移动方案总数。

• $Catala{n}_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}{C}_{2n}^n$