欧拉函数

欧拉函数

定义

一个数 \(x\) 的欧拉函数 \(\varphi(x)\) 为小于 \(x\) 的正整数中与 \(x\) 互质的数的个数。

特别地，\(\varphi(1)=1\)。

求法

1. \(\varphi(n)=n\textstyle\prod^n_{i=1}(1-\frac{1}{p_i})\)，其中 \(p_i\) 是 \(n\) 的所有质因数。
2. 线性筛求欧拉函数值。

性质

1. 是积性函数。
2. 对质数 \(p\) ，\(\varphi(p)=p-1\)。
3. 小于 \(n\) 的数中，与 \(n\) 互质的数之和为 \(\varphi(n)\times\dfrac{n}{2}(n \lt 1)\)。
4. \(n\) 的所有因数的欧拉函数之和等于 \(n\) ，即 \(n=\textstyle\sum_{d\mid n}\varphi(d)\)。

线性筛求欧拉函数

• 在线性筛中，每一个合数都被最小的质因子筛掉。

  设 \(p_1\) 是 \(n\) 的最小质因子， \(n'=\dfrac{n}{p_1}\) ，那么线性筛时 \(n\) 通过 \(x'\times p_1\) 筛掉。

• 如果 \(n' \bmod p_1=0\) ，那么 \(n'\) 包含了 \(n\) 的所有质因子。

  \(\begin{aligned}\varphi(n)&=n\times \displaystyle\prod^s_{i=1}\dfrac{p_i-1}{p_i}\\&=p_i\times n'\times\displaystyle\prod_{i=1}^{s}\dfrac{p_i-1}{p_i}\\&=p_1\times \varphi(n')\end{aligned}\)

• 如果 \(n' \bmod p_1 \not=0\) ，此时 \(n'\) 与 \(p_1\) 互质，因为欧拉函数是积性函数，则

  \(\varphi(n)=\varphi(p_1)\times\varphi(n')=(p_1-1)\times\varphi(n')\)

• int vis[maxN];
  int p[maxN];
  int phi[maxN];
  int pn;
  
  inline void getPhi(int N) {
  	for (int i = 2; i <= N; i++) {
  		if (!vis[i]) {
  			p[++pn] = i;
  			phi[i] = i - 1;
  		}
  		for (int j = 1; i * p[j] <= N; j++) {
  			vis[i * p[j]] = 1;
  			if (i % p[j] == 0) {
  				phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j];
  				break;
  			}
  			phi[i * p[j]] = phi[i] * phi[p[j]];
  		}
  	}
  }
  

欧拉定理

若 \(\gcd(a,m)=1\)，则 \(a^{\varphi(m)}\equiv1 \pmod m\)

扩展欧拉定理

\(a^b\equiv \begin{cases}a^{b \bmod \varphi(p)}, & \gcd(a,p)=1\\a^b, &\gcd(a,p)\not=1,b\lt\varphi(p)\\a^{b \bmod \varphi(p)+\varphi(p)},&\gcd(a,p)\not=1,b\geq\varphi(p)\end{cases}\pmod p\)