中国剩余定理

中国剩余定理

基本应用：求 \(n\) 个同余方程 \(x \equiv r_i \pmod{m_i}\) 形成的方程组，求最小的 \(x\) 。其中 \(m_i\) 两两互质。

\(\left\{\begin{matrix} x \equiv r_1 \pmod {m_1} \\ x \equiv r_2 \pmod {m_2} \\ x \equiv r_3 \pmod {m_3} \\ \vdots \\ x \equiv r_n \pmod {m_n} \end{matrix}\right.\)

设 \(M=\textstyle \prod_{i=1}^nm_i,M_i=\dfrac{M}{m_i},M'_i \equiv M_i^{-1} \pmod {m_i}\)

则 \(x \equiv \textstyle\sum_{i=1}^nr_iM'_iM_i \pmod M\)

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
	if(!b) x = 1,y = 0;
	else {
		exgcd(b,a % b,y,x);
		y -= x * (a / b);
	}
}

ll QuickMul(ll a,ll b,ll MOD) {
	ll ans = 0;
	while(b){
        if(b&1) ans = (ans + a) % MOD;
        a = (a + a) % MOD;
        b >>= 1;
    }
	return ans;
}

int A[maxN];
int B[maxN];

ll M = 1;ll ans = 0;

int main() {
	int K = read();
	for(int i = 1; i<=K; i++) A[i] = read();
	for(int i = 1; i<=K; i++) B[i] = read();
	for(int i = 1; i<=K; i++) M *= B[i];
	for(int i = 1; i<=K; i++) {
		ll t = M / B[i];
		ll x,y;
		exgcd(t,B[i],x,y);
		x = (x % B[i] + B[i]) % B[i];
		ans = (ans + QuickMul(QuickMul(t,x,M),(A[i]+M)%M,M)) % M;
	}
	printf("%lld",(ans+M)%M);
	return 0;
}