【YbtOJ】生日蛋糕

【YbtOJ】生日蛋糕

好家伙这在洛谷是道蓝题

题面

题目描述

7 月 17 日是 Mr.W 的生日，ACM-THU 为此要制作一个体积为 \(N\times\pi\) 的 \(M\) 层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。

设从下往上数第 \(i(1 \leq i \leq M)\)层蛋糕是半径为 \(R_i\)，高度为 \(H_i\)的圆柱。当 \(i \lt M\)时，要求 \(R_i \gt R_{i+1}\) 且 \(H_i \gt H_{i+1}\)。

由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积 \(Q\) 最小。

请编程对给出的 \(N\) 和 \(M\)，找出蛋糕的制作方案（适当的 \(R_i\)和 \(H_i\) 的值），使 \(S=\dfrac{Q}{\pi}\)最小。

（除 \(Q\) 外，以上所有数据皆为正整数）

输入格式

第一行为一个整数 \(N(N \leq 2 \times 10^4)\)，表示待制作的蛋糕的体积为 \(N\times \pi\)。

第二行为 \(M(M \leq 15)\)，表示蛋糕的层数为 \(M\) 。

输出格式

输出一个整数 \(S\)，若无解，输出 \(0\)。

样例输入

100
2

样例输出

68

分析

• 蛋糕的表面积为各层侧面积之和加上底层的上表面面积

• 基本的思路其实很简单

  从下向上搜索每一层的高度 \(h\) 与半径 \(r\) 并记录目前的总表面积 \(s\) 、还需要的体积\(v\)以及当前层数

  1. 如果已经到达了最顶层，检查 \(v\) 是否为 \(0\) ，即体积是否等于 \(m\)
     1. 若体积恰巧等于 \(m\) 则找到一种解，比较 \(s\) 与目前最小表面积 \(minS\)
     2. 若体积不相等，则这种方法不符合规则应舍弃
  2. 枚举 \(h\) 和 \(r\) ，判断侧面积 \(s'\) 、 目前体积 \(v'\) 是否合法，不合法就跳过

• 所有式子里面都有 \(\pi\) 可以将其提出来，在运算过程中忽略掉

剪枝

• 先给出我最开始写出来的、显而易见的剪枝

  1. 若目前的总表面积已经超过了 \(minS\) ，很显然最后的结果一定会超过目前的最小值
  2. 如果加上该层蛋糕的体积后总体积超过所求体积，最后答案一定非法

• 然后是书中给出的剪枝方法（

  记当前表面积为 \(S\) ，当前体积 \(V\) ，当前处于 \(dep\) 层（最上层为第 \(1\) 层）

  1. 上下界剪枝

     根据 \(\pi R^2H=\pi(N-V)\) 可得

     1. \(R = \sqrt{\frac{N-V}{H}}\)

        由于 \(H\) 最小为 \(1\) ，则 \(R\) 的最大值为 \(\sqrt{N-V}\)

        但考虑到 \(R_{dep}\) 不能超过上一层的 \(R_{dep+1}\)

        因此 \(R_{dep}\) 的最大值为 \(\min(R_{dep+1},\sqrt{N-V})\)

        由于每一层的 \(R_{dep}\) 都需要小于上一层的 \(R_{dep+1}\) ，可知 \(R_{dep}\) 的最小值就是 \(dep\)

        因此，\(R\) 的取值范围是 \([dep,\min(R_{dep+1},\sqrt{N-V})]\)

     2. \(H=\frac{N-V}{R^2}\)，由于是先枚举 \(R\) 再枚举 \(H\) ，因此这个 \(R^2\) 可以留下来

        其余部分同 \(R\)

        因此 \(H\) 的取值范围为 \([dep,\min(R_{dep+1},[\frac{N-V}{R^2}]]\)

  2. 优化搜索顺序

     在上面确定的范围中，采用倒序枚举

     因为该层的 \(R\) 和 \(H\) 越大，留给接下来的蛋糕的 \(R\) 和 \(H\) 的范围就越大

  3. 可行性剪枝

     可以预处理出从上往下前 \(i\) 层的最小体积和侧面积，显然，当第 \(1\) ~ \(i\) 层的半径分别取 \(1,2,3,\cdots,i\) ，高度也分别取 \(1,2,3,\cdots,i\) 时，有最小体积和侧面积

     如果当前体积 \(V\) 加上 \(1\sim dep-1\) 层的最小体积大于 \(N\) ，可以剪枝

  4. 最优性剪枝一

     如果当前表面积 \(S\) 加上 \(1\sim dep-1\) 层的最小侧面积大于已经搜到的答案，剪枝

  5. 最优性剪枝二

     （下列描述忽略 \(\pi\)）

     利用 \(h\) 与 \(r\) 数组， \(1\sim dep-1\) 层的体积可表示为 \(N-V=\sum^{dep-1}_{k=1}(h_k\times r_k^2)\)

     \(1\sim dep-1\) 层的侧面积可表示为 \(2\sum^{dep-1}_{k=1}(h_k\times r_k)\)

     因为

     \[\begin{align} 2\sum^{dep-1}_{k=1}(h_k\times r_k)&=\dfrac{2}{r_{dep}}\times\sum^{dep-1}_{k=1}(h_k\times r_k \times r_{dep})\\ &\geq\dfrac{2}{r_{dep}}\times \sum^{dep-1}_{k=1}(h_k\times r_k^2)\\ &\geq\dfrac{2(N-V)}{r_{dep}}\\ \end{align} \]

     所以当 \(\dfrac{2(N-V)}{r_{dep}}+S > minS\) （即目前的 \(S\) 加上上面的所有层侧面积最小值仍然大于已经搜到的答案）时，可以剪枝

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, m;
int minS = 1e9;

inline int CS(int r, int h) { return 2 * r * h; }
inline int CV(int r, int h) { return r * r * h; }
void dfs(int N, int R, int H, int cnt, int sc) {
    if (sc > minS)
        return;
    if (cnt == m + 1) {
        if (N != 0)
            return;
        minS = min(minS, sc);
        return;
    }
    int k = m - cnt + 1;
    if (k * R * R * H < N)
        return;
    if (k * 2 + sc > minS)
        return;
    if (cnt == 1) {
        for (int r = R; r >= m; r--) {
            for (int h = m; h <= H; h++) {
                int cs = CS(r, h);
                int cv = CV(r, h);
                if (N - cv < 0)
                    continue;
                if (r * r * h > n)
                    continue;
                dfs(N - cv, r, h, cnt + 1, sc + cs + r * r);
            }
        }
    } else
        for (int r = R - 1; r >= m - cnt + 1; r--) {
            for (int h = m - cnt + 1; h < H; h++) {
                int cs = CS(r, h);
                int cv = CV(r, h);
                if (N - cv < 0)
                    continue;
                if (r * r * h > n)
                    continue;
                dfs(N - cv, r, h, cnt + 1, sc + cs);
            }
        }
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    dfs(n, 50, 50, 1, 0);
    printf("%d", minS);
    return 0;
}