最长上升子序列（LIS）

最长上升子序列（LIS）

• 给定长度为\(N\)的序列\(a_i\)，求序列中一个长度最长且递增的子序列。输出子序列的长度。\(N\leq 1000\)。

\(O(N^2)\)解法

• 设\(f[i]\)为以\(a_i\)结尾的最长上升子序列的长度

  易知\(f[i]\)的最大值为 区间\([1,i)\)中的 小于\(a_i\)的最大的\(j\)加上1

  意思就是，

  假设\(a_j\)为区间\([1,i)\)中小于\(a_i\)的最大值，那么\(a_i\)就可以拼在\(a_j\)的后面，这时以\(a_i\)结尾的LIS的长度就为以\(a_j\)结尾的LIS长度+1

  用状态转移方程表示就是

  \(\large{f[i]=\displaystyle\max_{j=1}^{i-1}(f[j])+1,a_i>a_j}\)

• 用代码表示就是

  int A[N+1];
  int f[N+1];
  for(int i = 1;i<=N;i++){
      for(int j = 1;j<i;j++){
          if(A[i] <= A[j]) continue;
          f[i] = max(f[i],f[j]+1);
      }
  }
  int max_ = -1;
  for(int i = 1;i<=N;i++) max_ = max(f[i],max_);
  

\(O(N\log N)\)解法

• 设\(f[i]\)为长度为\(i\)的上升子序列的最后一个数字

  设\(a_j\)为序列的第\(j\)个元素

  若\(f_{i}\leq a_j < f_{i+1}\)，则将\(f_i\)的值更新为\(a_j\)

  相当于将长度为\(i\)的上升子序列的最后一位\(f_i\)改为了更小的\(a_j\)，显然这样更有利于在后面接其他元素

• 但是目前遍历长为\(n\)的序列，对于其中每项\(a_j\)，都需要进行至多\(i\)次操作去寻找合适的区间，时间复杂度仍然为\(O(N^2)\)

• 但是，由于\(f_i\)单调递增，可以在查找的时候使用二分查找来优化，这样就至多进行\(\log N\)次查找，时间复杂度降为\(O(N\log N)\)

• 代码实现

  int A[N+1];
  int f[N+1];
  int cnt = -1;
  //cnt代表当前最长上升子序列的长度
  fill(f+1,f+N+1,1e9);
  //fill(st,ed,val)意为用val填充数组[st,ed)区间
  //使用极大值填充区间
  for(int i = 1;i<=N;i++){
      int j = lower_bound(f+1,f+N+1,A[i]) - f;
      //lower_bound(st,ed,val)意为在[st,ed)区间内查找第一个不小于val的元素
      //lower_bound返回一个指向找到元素的迭代器
      //减去的f是地址
      //地址 - 地址 = 下标
      cnt = max(cnt,j);
      f[j] = A[i];
  }
  int ans = cnt;