无限序列

无限序列

YbtOj G. 3.无限序列

题目描述

我们按以下方式产生序列：

1. 开始时序列是：1 ；
2. 每一次变化把序列中的 1 变成 10 ，0 变成 1。

经过无限次变化，我们得到序列 1011010110110101101... 。

总共有$Q$个询问，每次询问为：在区间$a$和$b$之间有多少个 1。

任务：写一个程序回答$Q$个询问。

输入格式

输入的第一行为一个整数 ，后面有$Q$行，每行两个数用空格隔开的整数$a,b$。

输出格式

输出共$Q$行，每行一个回答。

样例

样例输入

1
2 8

样例输出

4

数据范围与提示

对于$100\mathrm{\%}$的数据，$1\le Q\le 5000$，$1\le a\le b\le 2^{63}$。

• 做的时候先是手推到了变换8次后的结果试图找出循环节但是我失败了（

  然后发现了第$i$次变换后的序列的前一部分就是第$i-1$次变换的序列

  然后就发现第$i$次变换后的序列的后一部分就是第$i-2$次变换的序列

  但是没发现这好像可以继续拆下去

  然后发现了第$i$次变换后的序列中有个斐波那契数列第i项个1

  然后甚至意识到了$[a,b]$区间内的1的数量等于$[1,b]$与$[1,a-1]$区间内的个数差

  然后我就不会了。。。

• 看了一些题解，终于发现这个序列是可以不断拆分到10和1的

  //提前预处理出斐波那契数列1~99项的值
  //f函数用于寻找第1~m之间1的个数
  long long f(long long m){
  	if(m < 3) return n1[m];
      //最好是从小往大找，因为这个序列是越拆越短的
  	for(int i = 3;i<=99;i++){
          //如果长度正好等于预处理出的长度的第i项，那么1的个数也正好为对应的个数的第i项
  		if(le[i] == m) return n1[i];
          //如果预处理出的长度第i项长于当前长度（即第一个长于长度的值），那么就接着拆后半部分
          //拆完后得到的1的数量加上前半部分的1的数量即可
  		if(le[i] > m) return f(m-le[i-1]) + n1[i-1];
  	}
  }

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• 举个栗子

  下面是变换8次后的序列
   
  1011 0101 1011 0101 1010 1101 1010 1101 10
   
  n1 = [1,1,2,3,5,8 ,13,...]
  le = [1,2,3,5,8,13,21,...]
   
  求在[3,18]区间内的1的数量
   
  先求[1,18]区间内的1的数量
   
  [1011 0101 1011 0101 10]10 1101 1010 1101 10
   
  最短的长于14的完整序列长度为21
  那么就可知最长的短于14的完整序列长为13
   
  即
  [1011 0101 1011 0]101 1010 1101 1010 1101 10
   
  因此[1,18]区间内的1的数量为[1,13]与[14,18]之间的1的数量和
   
  通过查询可知，[1,13]区间内有8个1
   
  接下来将[14,18]拆分为[14,17]与[17,18]这两个完整序列
   
  即[14,18]间1的数量为以下两部分完整序列的和：
   
  [14,17]这个长为3的完整序列中的1的数量
  [17,18]这个长为2的完整序列中的1的数量
   
  因此，[14,18]间的1的数量为2+1=3个
   
  因此[1,18]区间内有8+3=11个1
   
  同理可知[1,2]区间内有1个1
   
  所以[3,18]间有11-1=10个1

还有就是

$\mathrm{不}\mathrm{开}\text{long long}\mathrm{见}\mathrm{祖}\mathrm{宗}$