堆排序总结与实现
本博客总结学习堆排序算法，以一个数组为例，采用大根堆进行升序排序，附有代码实现。
堆排序的思想
堆排序的逻辑是建立在完全二叉树的基础上。
有两个概念必须要了解：
- 大根堆：每个结点值都大于等于左右孩子结点值
- 小根堆：每个结点值都小于等于左右孩子结点值
以大根堆为例，将根结点与最后一个结点交换，弹出根结点，即可得到整个树中的最大值。继续，将剩下的n-1个结点的树再调整为大根堆，再弹出根结点，以此类推，可得到一个有序序列。
问题的关键在于，如何进行堆调整？
我们把二叉树中每一簇“父结点、左孩子、右孩子”当成一个三元组，从二叉树底层开始，由下往上，依次对每一个三元组进行调整，套一两层循环，即可完成堆调整。这是直观的总体思路。
存在一个问题：如何根据父或子结点快速获取三元组？
说白了就是需要建立父结点和孩子结点之间的联系。可通过完全二叉树的性质来解决。完全二叉树中，若按照层序遍历对每个结点进行编号（从1开始），父节点为 k ，则左右孩子结点编号一定为 2 * k 和 2 * k + 1 。根据此性质可在父子结点之间快速互相访问。
把待排序的数组看做完全二叉树层序遍历的结果，即可应用这个性质。如下图所示：
注意：由于数组下标从0开始，所以代码中左右孩子结点分别为2 * k+1和2 * k+2，与上图不太一样
记住以下两个重要性质即可：
- 长度为len的数组中，最后一个三元组的根节点下标为len / 2 - 1；
- 下标为k的结点，其左右孩子结点下标分别为2 * k+1和2 * k+2
代码示例
先上代码：
private void heapSort(int[] arr) {
int len = arr.length;
//将乱序数组调整为大根堆
for (int i = len / 2 - 1; i > -1; --i) {
heapAdjust(arr, i, len);
}
//元素出堆、循环堆调整
for (int i = len - 1; i > 0; --i) {
//交换i和0两个元素，使用位运算完成
swap(arr, i, 0);
//堆调整，注意，这里第三个参数是长度不是下标，表示调整至下标为i-1的元素为止
heapAdjust(arr, 0, i);
}
//arr排序完毕
}
/**
* 交换数组中两个数，使用位运算
*/
private void swap(int[] arr, int i, int j) {
arr[i] ^= arr[j];
arr[j] ^= arr[i];
arr[i] ^= arr[j];
}
/**
* 堆调整
*/
private void heapAdjustOld(int[] arr, int s, int length) {
for (int i = 2 * s + 1; i < length; i = 2 * i + 1) {
if (i + 1 < length && arr[i + 1] > arr[i]) {
++i;
}
if (arr[s] > arr[i]) break;
swap(arr, s, i);
s = i;
}
}
/**
* 堆调整优化方法
*/
private void heapAdjust(int[] arr, int s, int length) {
int temp = arr[s];
for (int j = 2 * s + 1; j < length; j = j * 2 + 1) {
if (j + 1 < length && arr[j + 1] > arr[j]) {
++j;
}
if (temp > arr[j]) break;
arr[s] = arr[j];
s = j;
}
arr[s] = temp;
}
上述代码，堆调整方法的参数不太好理解，为了方便记忆，我修改了一版代码，如下：
private void heapSort(int[] arr) {
for (int idx = arr.length / 2 - 1; idx > -1; --idx) {
heapAdjust(arr, idx, arr.length - 1);
}
for (int high = arr.length - 1; high > 0; --high) {
swap(arr, 0, high);
heapAdjust(arr, 0, high - 1);
}
}
private void swap(int[] arr, int i, int j) {
arr[i] ^= arr[j];
arr[j] ^= arr[i];
arr[i] ^= arr[j];
}
// start和end分别为初始和结束下标，表示这个范围内进行堆调整
private void heapAdjust(int[] arr, int start, int end) {
int parent = start;
int rootVal = arr[parent];
for (int son = 2 * parent + 1; son <= end; son = 2 * son + 1) {
if ((son + 1) <= end && arr[son + 1] > arr[son]) ++son;
if (rootVal >= arr[son]) break;
arr[parent] = arr[son];
parent = son;
}
arr[parent] = rootVal;
}
堆排序流程
1.将乱序数组调整为大根堆
对于一个杂乱无章的数组而言，一层循环不足以将其调整为大根堆，需要两层。
- 外层循环：相当于从下往上遍历所有的三元组；
- 内层循环：用子函数heapAdjust实现。按照直观思路，此处不应该有循环，直接调整三元组即可（将父结点与某个孩子结点交换）。但是，每次调整后，孩子结点的值发生改变，该孩子结点值可能比下层结点小。因此需要循环对每一个发生改变的孩子结点的下层三元组进行修正。
2.元素出堆、循环堆调整
交换根节点与最后一个结点，把最大值移到了数组的末尾。再对前 n-1 个数进行堆调整，再次将最大值移到末尾，依次循环，即可得到升序排序结果。
注意：此处的堆调整不需要第一步中的两层循环，只需要一层，调用heapAdjust即可。因为前 n-1 个数中，只有arr[0]这一个位置不正确，并不是完全乱序，只需要调整这一个位置即可。
堆调整
堆调整是本算法中最核心的部分。即调整以 s 为根的三元组为正确的大根堆/小根堆，并对下层结点进行循环修正。
注意：此方法并不会遍历整颗二叉树，也不能将一棵杂乱的二叉树调整为大/小根堆
本部分代码很巧妙，需要细细品读。每次调整时，并不是直接交换父结点值和子结点值，那样会徒增赋值次数。
堆排序特点
- 时间复杂度：最坏O(Nlog2N)，平均性能接近最坏性能；空间复杂度O(1)；
- 不稳定排序；
- 只能用于顺序结构，不能用于链式结构；
- 初始建堆比较次数较多，记录少时不宜采用，记录较多时比较高效。
