Reservoir Sampling

Reservoir Sampling：从N个数中随机抽取k个元素，保证每个元素被选中的概率相等，N不知道有多大。

分析：这个问题称为蓄水池抽样，经典方法：

Init : a reservoir with the size： k

for(int i = k + 1; i  <= N; ++i)

{

    m = random(1, i);

    if(k >= m)

        swap the mth value with the ith value;

}

这个每个元素被选择的概率为k/N,证明网上很多。

简单证明：假设现在从第i+1个选择下一个元素，现证明每一个元素被选中的概率为k/(i + 1)。

对于第i + 1 个元素，它被选择的概率显然为k/(i+1)(从i+1个元素中生成一个随机数，小于等于k则被选择)，对于前i个已经被选择的元素，在第i+1次选择后，仍被选择的概率为 （第i+1个元素被选择但是未被替换的概率+ 第i+1个元素未被选择的概率),前者为 k/(i+1) * (k-1/k),后者为（ i+1-k）/(i+1),相加得 i/(i+1),即从前i+1个元素中选择，每个元素被选择的概率为k/i * i/(i+1) = k/(i+1).

题目1. 给你一个长度为N的链表。N很大，但你不知道N有多大。你的任务是从这N个元素中随机取出k个元素。你只能遍历这个链表一次。你的算法必须保证取出的元素恰好有k个，且它们是完全随机的（出现概率均等）。

蓄水池的应用

题目2.给你一个数组A[1..n]，请你在O(n)的时间里构造一个新的数组B[1..n]，使得B[i]=A[1]*A[2]*...*A[n]/A[i]。你不能使用除法运算.

我觉得这个和上面算法没关系，不知道为什么有人将它写这里，利用r[i] = a[1]*a[2]*...*a[i],l[i] = a[n]*a[n-1]*...*a[i],则B[i] = r[i-1]*l[i+1].