算法导论复习

一、数据结构

1、红黑树、序统计树、区间树

1.1 红黑树的性质

每个节点是红色或黑色的

根节点是黑色的

叶节点是黑色的

红色节点的两个孩子节点都是黑色的

从一个节点到后代任意叶节点的简单路径上，黑色节点数相同，即黑高相同

1.2 红黑树的应用 - 顺序统计树、区间树的定义、构造

顺序统计树

顺序统计树是一种支持快速顺序统计操作的一种数据结构

其可以在 \(O(lg(n))\) 复杂度下去定位一个节点的秩，或找到秩为 \(x\) 的节点

它在红黑树的基础上，在每个节点中添加了一个附加信息 \(size\)，该属性标识以该节点为根的树的节点数
区间树

区间树是一种对动态集合进行维护的红黑树

1.3 数据结构扩张步骤

选择一种基础数据结构

确定基础数据结构中要维护的附加信息

检查基础数据结构上的基本操作能否维护附加信息

设计一些新的操作

1.4 一些题目

证明：一颗有n个内部节点的红黑树的高度至多为 \(2lg(n+1)\)

假设一颗红黑树的高度为\(h\)，根据性质4，从根到叶节点的任何一条简单路径上都至少有一半的节点为黑色，因此，根的黑高至少为\(h/2\)，于是有

\[n \geq 2^{h/2}-1 \]
从而可以得到 \(h \leq 2lg(n+1)\)
在一棵黑高为 \(k\) 的红黑树中，内部节点最多可能有多少个？最少可能有多少个？

最多时，从根节点到任意叶节点的简单路径上，有 \(k\) 个黑节点，有 \(k\) 个红节点，此时节点数为 \(2^{2k}-1\)

最少时，从根节点到任意叶节点的简单路径上，只有 \(k\) 个黑节点，此时节点数为 \(2^k-1\)
红黑树新插入节点时，为何不着色为黑色？着色为黑色，就不会破坏性质4啊

着色为黑色的话，就会破坏性质5，处理起来更加麻烦

2、二项堆

2.1 二项树的定义、性质

对于一颗二项树 \(B_k\)，它具有以下性质：

有 \(2^k\) 个节点

树高为 \(k\)

在 \(i\) 层上，恰好有 \(C_k^i\) 个节点，\(i \in [0,\,k]\)

根节点的度为 \(k\)，大于其他任意节点；且其 \(k\) 个孩子节点的度从左到右依次为 \(k-1,\,k-2,...,0\)；同样的，以其孩子节点为根的树也是一颗二项树，不断递归定义下去

\(B_k\) 可由两棵 \(B_{k-1}\) 合并而来

2.2 二项堆的定义

对于一个二项堆 \(H\)，其遵循以下性质：

\(H\) 中的每一棵二项堆均为小顶堆

对任意一种度数 \(k\)，其对应的二项树 \(B_k\) 在 \(H\) 中最多只出现一次

2.3 根表的性质

在二项堆 \(H\) 中，维护了一个叫根表的东西，且每个节点的 \(sibling\) 指针指向其兄弟节点，根表是存储二项堆中的所有二项树的根的链表。且，在根表中，每个根的 \(degree\) 是严格递增的

2.4 二项堆的操作、时间

创建新堆：\(O(1)\)

查找最小节点：\(O(lg(n))\)，对于有n个节点的二项堆，其最多有 \(\lfloor lg(n) \rfloor + 1\) 个二项树

合并两个二项堆：\(O(lg(n))\)，遍历根表，相同度数合并

插入节点：创建只含有该节点的新堆，然后合并两个堆，\(O(lg(n))\)

删除最小节点：\(O(lg(n))\)，找到最小根，将该节点的孩子节点都放到新堆中，合并两个堆

减小一个节点的值：\(O(lg(n))\)，最大深度为 \(\lfloor lg(n) \rfloor\)

删除一个节点：\(O(lg(n))\)，先将节点降为比最小值还要小的值，然后删除最小节点

3、斐波那契堆

3.1 斐波那契堆的定义

一个斐波那契堆是一系列具有最小堆序的有根树的集合。

3.2 根表的性质

在斐波那契堆中，所有的树根都用左右指针链成了一个环形双链表，其中 \(H.min\) 指向最小根节点，\(H.n\) 表示根节点数量。根链表中树的次序可以任意。

3.3 斐波那契堆的势函数

对于给定的斐波那契堆 \(H\)，用 \(t(H)\) 表示 \(H\) 中根链表中的树的数量，用 \(m(H)\) 来表示 \(H\) 中已标记的节点数目，定义势函数如下：

\[\phi(H) = t(H) + 2m(H) \]

3.4 斐波那契堆的操作、时间

创建一个空斐波那契堆：\(O(1)\)

插入一个节点：真实代价 \(O(1)\)，摊还代价 \(O(1)\)

寻找最小节点：真实代价 \(O(1)\)，摊还代价 \(O(1)\)

合并斐波那契堆：真实代价 \(O(1)\)，摊还代价 \(O(1)\)

连接两个根表，从 \(H_1.min\) 和 \(H_2.min\) 中选出最小根节点作为 \(H.min\)，并更新 \(H.min=H_1.min+H_2.min\)

疑问：若仅是这样合并，根表中同一种度数的节点会有多个

抽取最小节点：摊还代价 \(O(lg(n))\)

首先找到最小节点，若有孩子节点，则将其孩子节点添加到根表中，最后移除最小节点 \(z\)，此时若 \(z\) 的右孩子为自己，说明根表中无其他节点了，所以根表置空，否则执行 \(H.min=z.right\)，并调用合并根链表操作。

合并根链表操作需要一个辅助空间 \(A[0..D(H.n)\)，其中 \(A[i]\)表示当前遇到过的度数 \(i\) 指向的节点，如果有两个节点相同，则合并之。

合并根链表时是从 \(H.min\) 开始遍历根链表的，所以开始之前 \(H.min\) 是否指向最小节点并不重要
关键字减值：实际代价 \(O(c)\)，摊还代价 \(O(1)\)，其中 \(c\) 是执行级联剪除函数的次数
假设要将节点 \(x\) 的值减小到 \(k\)，首先要保证新值 \(k\) 不大于旧值，接着，若新值没有违反最小堆序，那么可以直接结束，否则，需要将节点 \(x\) 剪除，并向上级联剪除，级联剪除过程如下：
CASCADING-CUT(H, x):
	z = x.parent
	if x.mark = false:
		x.mark = true
	else:
		CUT(x)
		CASCADING-CUT(H, z)
对于一个节点 \(x\)，若：

1、在某时刻 \(x\) 为根节点

2、\(x\) 被链接到某节点后变成了孩子节点

3、\(x\) 的两个孩子节点被剪除

那么，若条件1、2发生，并且 \(x\) 的一个孩子节点被剪除，则 \(x.mark=true\)，若在 \(x.mark=true\)时，\(x\) 又被剪掉了一个孩子节点，那么，\(x\) 就会被级联剪除掉。

也就是说，每一次剪除都会产生一个根节点

对该方法进行势能分析：

若剪除了节点 \(x\)，后又进行了\(c-1\)次的级联剪除，那么共会产生\(c\)棵新树，标记数的变化为：\(c-1\)次级联剪除会消除\(c-1\)个标记，但是最后一次尝试级联时因未标记节点，故会产生一个标记节点，故新的标记数为 \(m(H)-c+2\)

势能变化如下：

\[t(H) + c + 2 * (m(H)-c+2) - [t(H) + 2 * m(H)] = 4-c \]
那么根据势能法的摊还分析，最终的摊还代价为：

\[O(c) + 4 - c = O(1) \]
删除一个节点：\(O(lg(n))\)

先减值减到最小，再进行抽取最小值节点操作

斐波那契堆的最大度数界为 \(O(lg(n))\)

3.5 一些题目

若只支持合并堆操作，那么含有n个节点的斐波那契堆中的最大度数为 \(\lfloor lg(n) \rfloor\)
1. 若 \(n = 2^k\)，则该堆中只有一颗二项树，此时该根节点有最大度数为 \(D(n)=k=\lfloor lg(n) \rfloor\)
2. 若 \(n=2^k+i\)，此时斐波那契堆中出现的节点数最多的二项树有\(2^k\)个节点，该树根节点度数为\(D(2^k)=k=\lfloor lg(n) \rfloor\)
综上所述，含有n个节点的斐波那契堆中的最大度数为\(\lfloor lg(n) \rfloor\)
使用聚合分析来证明 FIB-HEAP-DECREASE-KEY 的 \(O(1)\) 摊还时间是每一个操作的平均代价

假设第 \(i\) 次调用减值函数会调用 \(c_i\) 次级联切断函数，故 \(n\) 次调用一共可能调用 \(\sum_{i=0}^{n-1}c_i\) 次级联切断。

但是，每一次CUT，都会产生一个根节点，而根节点无法再进行级联切断，故最多只能执行 \(n\) 次切断，总代价为 \(O(n)\)

因此，n次调用的平摊代价为 \(O(n)/n=O(1)\)

二、算法设计方法

1、分治法

1.1 基本步骤

分解：将问题划分为一些子问题，子问题的形式与原问题一样，只是规模更小

解决：递归地求解出子问题。如果子问题的规模足够小，则停止递归，直接求解

合并：将子问题的解组合成原问题的解

1.2 适用条件

原问题可被分解为规模更小的相同问题

1.3 相关算法

归并排序

最大子数组问题

矩阵乘法的Strassen算法

2、动态规划

2.1 基本步骤

描述最优解的结构特征

递归地定义一个最优解的值

自底向上计算一个最优解的值——计算最优解

从已知的计算信息中构造一个最优解——构造最优解

2.2 基本要素

最优子结构

重叠子问题

2.3 相关算法

矩阵链乘

钢条切割

最长公共子序列（LCS）

最优二叉搜索树

2.4 如何证明最优子结构性质

利用cut-and-paste技术证明：作为构成原问题最优解的组成部分，每个子问题的解就是它本身的最优解，证明这一点是利用反证法：

假定子问题的解不是其自身的最优解，那么我们可以从原问题的解中”剪切“掉这些非最优解，将最优解”粘贴“进去，进而得到原问题的一个更优解，然而这与最初的解释原问题的最优解的前提假设矛盾。

3 、贪心法

3.1 基本思想

将最优化问题转化为这样的形式：对其做出一次选择后，只剩下一个子问题需要求解

证明做出贪心选择后，原问题总是存在最优解，即贪心选择总是安全的

证明做出贪心选择后，剩余的子问题满足性质：其最优解与贪心选择组合即可得原问题的最优解，这样就得到了最优子结构

3.2 基本要素

最优子结构性质

贪心选择性质

3.3 相关算法

活动选择问题

赫夫曼编码

3.4 理论基础 - 胚的定义及相关概念

矩阵胚又称拟阵，是满足下述条件的序偶 \(M=(S,\; \Gamma)\)：

\(S\) 是一个有限集

\(\Gamma\) 是 \(S\) 子集的一个非空族，并且对于任意 \(B \in \Gamma\)，若 \(A \subseteq B\)，有 \(A \in \Gamma\)。此性质称为遗传性

若 \(A \in \Gamma,\; B \in \Gamma\)，且 \(|A| < |B|\)，则对于 \(x \in B-A\)，有 \(A \cup \{x\} \in \Gamma\)。此性质称为交换性

3.5 三种方法的相同及不同点

3.6 贪心选择性质的证明

正常的贪心选择为：选择一个元素，选择的元素为要得到的最优解

非正常的贪心选择为：选择一个元素，剩下的元素为要得到的最优解

三、算法分析

1、渐进符号

1.1 定义

\(\Theta\) 记号（渐近紧确界）

\[\Theta(g(n))=\{f(n); 存在正常量c_1,c_2和n_0,使得对所有的n>n_0,有0\leq c_1g(n) \leq f(n) \leq c_2g(n) \} \]

\(O\) 记号（渐近上界）

\[O(g(n))=\{f(n); 存在正常量c和n_0,使得对所有的n>n_0,有0\leq f(n)\leq cg(n) \} \]

\(\Omega\) 记号（渐进下界）

\[\Omega(g(n)) = \{f(n):存在正常量c和n_0, 使得对所有的n>n_0,有0\leq cg(n) \leq f(n) \} \]

1.2 三个符号间的关系

若 \(f(n)=\Omega(g(n))\) 且 \(f(n) = O(g(n))\)，则有 \(f(n)=\Theta(g(n))\)

1.3 一些已知量间的渐进关系

1.4 题目

假设 \(f(n)\) 与 \(g(n)\) 都是渐近非负函数，使用 \(\Theta\) 记号的基本定义来证明 \(max(f(n), g(n))=\Theta(f(n)+g(n))\)

因为 \(f(n)\) 与 \(g(n)\) 均为渐近非负函数，因此有：\(f(n)\geq 0\) 且 \(g(n) \geq 0\)

那么有：\(0 \leq \frac12(f(n) + g(n)) \leq max(f(n), g(n)) \leq f(n) + g(n)\)

即：存在 \(c_1=\frac12,\;c_2=1,\;n_0=0\) 使得当 \(n\geq n_0\) 时，有：

\[0\leq c_1(f(n)+g(n)) \leq max(f(n)+g(n)) \leq c_2(f(n)+g(n)) \]
即：\(max(f(n),\;g(n))=\Theta(f(n)+g(n))\)
证明：对任意常量 \(a\) 和 \(b\)，其中 \(b > 0\)，有：\((n+a)^b=\Theta(n^b)\)
1. 当 \(a\geq0\)，\(n>|a|\) 时，有：\(0\leq n^b\leq (n+a)^b \leq (2n)^b=2^bn^b\)
2. 当 \(a<0\)，\(n\geq |2a|\) 时，有： \(0\leq 2^{-b}n^b=(\frac12n)^b \leq (n+a)^b \leq n^b\)
综上所述，存在\(c_1=2^{-b},\;c_2=2^b,\;n\geq|a|\)，使得下式成立：

\[0\leq 2^{-b}n^b < n^b \leq (n+a)^b \leq n^b \leq 2^bn^b \]
即：\((n+a)^b=\Theta(n^b)\)

2、传统分析方法

2.1 基本思想

通过计算每条语句的执行次数，后累加得到 \(T(n)\)

2.2 最好最坏情况下的时间复杂度分析

举例：插入排序的时间复杂度分析

3、递归算法的分析方法

3.1 T(n)的一般式

3.2 替换法(代入法)

求解步骤
1. 猜测解的形式
2. 用数学归纳法求出解中的常数，并证明解是正确的
注意

要做出好的猜测要靠经验，那么这里有一个微妙的细节：

有时你可能正确猜出了递归式解的渐近界，但莫名其妙的在归纳证明时失败了。问题常常出在归纳假设不够强，无法证出准确的界。当遇到这种障碍时，如果修改猜测，将它减去一个低阶的项，数学证明常常能顺利证明。后面会有题目例证。

3.3 递归树方法

通常可以使用递归树方法来猜测解，再用代入法来证明猜测的正确性

3.4 Master方法

针对的问题形式

\(T(n)=aT(n/b)+f(n)\)
主定理
令 \(a\geq 1\) 和 \(b > 1\) 是常数，\(f(n)\) 是一个函数，\(T(n)\) 是定义在非负整数上的递归式：

\[T(n)=aT(n/b)+f(n) \]
其中我们将 \(n/b\) 解释为 \(\lfloor n/b \rfloor\) 或 \(\lceil n/b \rceil\)。那么 \(T(n)\) 有如下渐近界：
1. 若对某个常数 \(\varepsilon>0\) 有 \(f(n)=O(n^{log_ba-\varepsilon})\)，则 \(T(n)=\Theta(n^{log_ba})\)
2. 若 \(f(n)=\Theta(n^{log_ba})\)，则 \(T(n)=\Theta(n^{log_ba}lgn)\)
3. 若对某个常数 \(\varepsilon>0\) 有 \(f(n)=\Omega(n^{log_ba+\varepsilon})\)，且对某个常数 \(c<1\) 和足够大的 \(n\) 有 \(af(n/b)\leq cf(n)\)，则 \(T(n)=\Theta(f(n))\)
注意

主定理中的三种情况并未覆盖所有情况，在情况一和情况二中是存在间隙的，同样的，在情况二和情况三中也是存在间隙的，如果函数 \(f(n)\) 落在这两个间隙中，或者情况3的正则条件不成立，那么就不能使用主方法来求解递归式。

3.5 题目

证明：\(T(n)=T(n-1)+n\) 的解为 \(O(n^2)\)

假设 \(T(n)=O(n^2)\)，则有：\(T(n)\leq cn^2\)，\(T(n-1)\leq c(n-1)^2\)

\[T(n)=T(n-1)+n \leq c(n-1)^2+n=cn^2-(2c-1)n+c \]
由上式：当 \(c\geq1\)，\(n\geq 1\)时，\(-(2c-1)n+c \leq 0\) 恒成立，故此时，\(T(n)\leq cn^2\) 恒成立
证明：\(T(n)=T(\lceil n/2 \rceil)+1\) 的解为 \(O(lgn)\)

假设 \(T(n)=O(lgn)\)，则有：\(T(n)\leq clgn\)，\(T(\lceil n/2 \rceil) \leq clg(\lceil n/2 \rceil)\)

\[T(n)=T(\lceil n/2 \rceil)+1 \leq clg(\lceil n/2 \rceil) + 1 \leq clg(\frac{n+2}2)+2=clg(n+2)-(c-1) \]
发现无法证明出来....

假设 \(T(n)\leq clg(n-2)\)，则有 \(T(\lceil n/2 \rceil)\leq clg(\lceil n/2 \rceil -2)\leq clg(\frac{n+2}2-2)=clg(\frac{n-2}2)=clg(n-2)-c\)

\[T(n)=T(\lceil n/2 \rceil)+1 \leq clg(n-2)-c+1 \leq clg(n-2) \]
在 \(n>2\)，\(c\geq1\)时，上式成立

即可推出 \(T(n)\leq clg(n-2)\leq clgn\) 在 \(n>2\)，\(c \geq 1\) 时成立，即 \(T(n)=O(lgn)\) 在此情况下成立

当 \(n=2\) ，\(T(2)=2\)

此时若要满足 \(T(n)\leq clgn\)，则 \(T(2)=2\leq clg2=c\) 可知 \(c\geq2\)

综上所述，当 \(c\geq2\) 且 \(n>=2\) 时，满足\(T(n)\leq clgn\)，即 \(T(n)=O(lgn)\)
我们看到 \(T(n)=2T(\lfloor n/2 \rfloor)+n\) 的解为 \(O(nlgn)\)。证明 \(\Omega(nlgn)\) 也是这个递归式的解。从而得出结论：解为 \(\Theta(nlgn)\)

假设 \(T(n)=\Omega(nlgn)\geq cnlgn\)，则有 \(T(\lfloor n/2 \rfloor)\geq c\lfloor n/2 \rfloor lg(\lfloor n/2 \rfloor)\)

\(T(n)=2T(\lfloor n/2 \rfloor)+n\)

\(\geq2c\lfloor n/2 \rfloor lg(\lfloor n/2 \rfloor)+n\)

\(\geq cnlg(n/2)+n\)

\(\geq cnlgn - cn + n\)

\(\geq cnlgn -(c-1)n\)

\(\geq cnlgn\)

当 \(0 < c \leq 1\) 时，上式成立，即 \(T(n)=\Omega(nlgn)\)

因此，可得该递归式的解为 \(T(n)=\Theta(nlgn)\)
用主方法求 \(T(n)=2T(n/4)+1\) 的紧确界

\(a=2,\;b=4,\;f(n)=1\)

存在 \(\varepsilon=\frac12\) 使得 \(f(n)=1=n^{log_ba-\varepsilon}=n^{log_42-\frac12}\)，所以\(T(n)=\Theta(n^{log_ba})=\Theta(n^\frac12)=\Theta(\sqrt{n})\)
用主方法求 \(T(n)=2T(n/4)+\sqrt{n}\)

\(a=2,\; b=4,\; f(n)=n^\frac12\)

\(f(n)=n^\frac12=n^{log_ba}=n^{log_42}=n^\frac12\)，故 \(T(n)=\Theta(n^{log_ba}lgn)=\Theta(\sqrt{n}lgn)\)
用主方法求 \(T(n)=2T(n/4)+n\) 的紧确界

\(a=2,\; b=4,\; f(n)=n\)

存在 \(\varepsilon=\frac12\) 使得 \(f(n)=n=n^{log_ba+\varepsilon}=n^{log_42+\frac12}\)

又：\(af(n/b)=2f(n/4)=\frac{n}2\)

当 \(\frac12 \leq c < 1\) 时，对任意 \(n\geq1\) 满足 \(af(n/b)=n/2 \leq cf(n)=cn\)

所以 \(T(n)=\Theta(f(n))=\Theta(n)\)
用主方法求 \(T(n)=2T(n/4)+n^2\) 的紧确界

\(a=2,\; b=4,\; f(n)=n^2\)

存在 \(\varepsilon=\frac32\) 使得 \(f(n)=n^2=n^{log_ba+\varepsilon}=n^{log_42+\frac32}\)

又：\(af(n/b)=2f(n/4)=\frac{n^2}8\)

当 \(\frac18\leq c < 1\) 时，对任意 \(n \geq 1\) 满足 \(af(n/b)=\frac{n^2}8\leq cf(n) = cn^2\)

所以 \(T(n)=\Theta(f(n))=\Theta(n^2)\)
主方法能应用于递归式 \(T(n)=4T(n/2)+n^2lgn\) 吗？请说明为什么可以或为什么不可以。给出这个递归式的渐近上界

\(a=4,\;b=2,\;f(n)=n^2lgn\)

有 \(n^{log_ba}=n^2\)，该式置于情况2与情况3的间隙之中，无法使用主方法来求解

可用画递归树的方式来求得该式的渐近上界为 \(O((nlgn)^2)\)

接着可以使用代入法来证明该解的正确性

假设 \(T(n)=O((nlgn)^2)\)，有 \(T(n) \leq c(nlgn)^2\)，\(T(\frac{n}2)=cn^2(lgn-1)^2\)

\[T(n)\leq cn^2(lgn-1)^2+n^2lgn=c(nlgn)^2-2cn^2lgn+cn^2+n^2lgn=c(nlgn)^2-(2c-1)n^2lgn+cn^2 \]
由于 \(n^2lgn\) 的增长速率大于 \(n^2\)，故当\(c>\frac12\) 时，必然存在\(n_0>0\)，使得当\(n>n_0\)时，\(-(2c-1)n^2lgn+cn^2\leq0\)

即此时 \(c(nlgn)^2-(2c-1)n^2lgn+cn^2 \leq c(nlgn)^2\)

故：\(T(n) \leq c(nlgn)^2\)

\(T(n)=O((nlgn)^2)\) 得证

4、平摊分析方法

4.1 基本思想

求数据结构的一个操作序列中所执行的所有操作的平均时间，来评价操作的代价。摊还分析不同于平均情况分析，它并不涉及概率，它可以保证最坏情况下的每个操作的平均性能。

4.2 合计法（聚合分析）

利用聚合分析，我们证明对所有n，一个n个操作的序列最坏情况下花费的总时间是 \(T(n)\)。因此，在最坏情况下，每个操作的平均代价，或摊还代价为 \(T(n)/n\)

4.3 记账法（核算法）

用核算法进行摊还分析时，我们对不同操作赋予不同费用，该费用称为摊还代价。当一个操作的摊还代价超出实际代价时，则将差额存入特定对象，该差额称为信用，对于后续操作中摊还代价小于实际代价的情况时，就可以使用信用来支付差额。

因此，核算法是将一个操作的摊还代价分解为其实际代价和信用。

4.4 势函数方法

假设我们将对一个初始数据结构 \(D_0\) 执行 \(n\) 个操作。对每个 \(i=1,2,...,n\)，令 \(c_i\) 为第 \(i\) 个操作的实际代价，令 \(D_i\) 为在数据结构 \(D_{i-1}\) 上执行第 \(i\) 个操作得到的结果数据结构。势函数 \(\Phi\) 将每个数据结构 \(D_i\) 映射到一个实数 \(\Phi(D_i)\)，此值即为关联到数据结构 \(D_i\) 的势。第 \(i\) 个操作的摊还代价 \(\hat{c}_i\) 用势函数 \(\Phi\) 定义为：

\[\hat{c}_i=c_i+\Phi(D_i)-\Phi(D_{i-1}) \]
那么，总摊还代价为：

\[\sum_{i=1}^n\hat{c}_i=\sum_{i=1}^n(c_i+\Phi(D_i)-\Phi(D_{i-1}))=\sum_{i=1}^nc_i+\Phi(D_n)-\Phi(D_0) \]

4.5 动态表分析

5、算法正确性分析

5.1 循环不变式(*)

5.2 cut and paste方法

5.3 归纳法

5.4 贪心选择性质

四、最大流

1、流、流网络定义

流网络

流网络 \(G=(V,E)\) 是一个有向图，图中的每条边 \((u, v)\in E\) 有一个非负的容量值 \(c(u, v) \geq 0\)。而且，边集合 \(E\) 中若包含一条边 \((u,v)\)，则图中不存在反向边 \((v,u)\)，（ps: 若存在反向边，可以增加一个节点来消除反平行边）。

若 \((u,v) \notin E\)，则 \(c(u,v)=0\)，图中不允许自循环。

\(s\) 为源点，\(t\) 为汇点

对于图中任意节点 \(v\)，存在 \(s \leadsto v \leadsto t\)，并且除源点外的每个节点都至少有一条进入的边，除了汇点外的每个节点都至少有一条出去的边。
流
设 \(G=(V,E)\) 是一个流网络，其容量函数为 \(c\) 。设 \(s\) 为网络中的源点，\(t\) 为网络中的汇点。\(G\) 中的流是一个实值函数 \(f:V \times V \rightarrow R\)，并满足下列三条性质：
- 容量限制：对于所有的\(u,v\in V\)，有 \(f(u,v)\leq c(u,v)\)
- 反对称性：对于所有的\(u,v\in V\)，有\(f(u,v)=-f(v,u)\)
- 流量守恒：对于所有的\(u\in V-\{s,t\}\)，有：
\[\sum_{u\in V}f(u,v)=0 \]
一个流的值 \(|f|\) 的定义如下：

\[|f|=\sum_{v\in V}f(s,v)-\sum_{v\in V}f(v,s) \]

2、Ford-Fulkerson方法

残存网络

假定有一个网络流 \(G=(V,E)\)，其源点为 \(s\)，汇点为 \(t\) 。设 \(f\) 为图 \(G\) 中的一个流。考虑节点对 \(u,v\in V\)，定义残存容量 \(c_f(u,v)\) 为：

\[c_f(u,v)=\left\{ \begin{aligned} c(u,v)-f(u,v)\;\;若(u,v)\in E \\ f(v,u)\qquad\qquad\;\;\,若(v,u)\in E \\ 0\qquad\;\qquad\qquad\qquad\qquad其他 \end{aligned} \right. \]
给定一个流网络 \(G\) 和一个流 \(f\)，则由 \(f\) 所诱导的图 \(G\) 的残存网络为 \(G_f=(V,\;E_f)\)，其中：

\[E_f=\{(u,v)\in V\times V：c_f>0\} \]
在残存网络中将流量推送回去称为抵消操作
增广路经

给定流网络 \(G=(V,\;E)\) 和流 \(f\)，增广路径 \(p\) 是残存网络 \(G_f\) 中一条从源节点 \(s\)，到汇点 \(t\) 的一条简单路径。

对于一条增广路径，我们能为它每条边增大的最大流量为路径 \(p\) 的残存容量：

\[c_f(p)=min\{c_f(u,v): \; (u,v) \; 属于路径 \; p\} \]
流网络的切割

流网络 \(G=(V,\;E)\) 中的一个切割 \((S,\;T)\) 将结点集合 \(V\) 划分为 \(S\) 和 \(T=V-S\) 两个集合，使得 \(s\in S,\; t\in T\) 。
基本Ford-Fulkerson算法

FORD-FULKERSON(G, s, t)
    for each edge(u, v) in G, E:
		(u, v).f = 0 
    while there exists a path p from s to t in the redidual network Gf:
		c_f(p) = min{c_f(u, v): (u, v) is in p}
		for each edge(u, v) in p:
			if (u, v) in E:
				(u, v).f = (u, v) + c_f(p)
             else (v, u).f = (v, u).f - c_f(p)

6、相关算法及时间

Ford-Fulkerson算法的运行时间为 \(O(E|f^*|)\)，其中 \(f^*\) 为最大流的数量

posted @ 2021-03-04 22:53 bunner 阅读(511) 评论(0) 编辑收藏举报

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bunner

算法导论复习

一、数据结构

1、红黑树、序统计树、区间树

1.1 红黑树的性质

1.2 红黑树的应用 - 顺序统计树、区间树的定义、构造

1.3 数据结构扩张步骤

1.4 一些题目

2、二项堆

2.1 二项树的定义、性质

2.2 二项堆的定义

2.3 根表的性质

2.4 二项堆的操作、时间

3、斐波那契堆

3.1 斐波那契堆的定义

3.2 根表的性质

3.3 斐波那契堆的势函数

3.4 斐波那契堆的操作、时间

3.5 一些题目

二、算法设计方法

1、分治法

1.1 基本步骤

1.2 适用条件

1.3 相关算法

2、动态规划

2.1 基本步骤

2.2 基本要素

2.3 相关算法

2.4 如何证明最优子结构性质

3 、贪心法

3.1 基本思想

3.2 基本要素

3.3 相关算法

3.4 理论基础 - 胚的定义及相关概念

3.5 三种方法的相同及不同点

3.6 贪心选择性质的证明

三、算法分析

1、渐进符号

1.1 定义

1.2 三个符号间的关系

1.3 一些已知量间的渐进关系

1.4 题目

2、传统分析方法

2.1 基本思想

2.2 最好最坏情况下的时间复杂度分析

3、递归算法的分析方法

3.1 T(n)的一般式

3.2 替换法(代入法)

3.3 递归树方法

3.4 Master方法

3.5 题目

4、平摊分析方法

4.1 基本思想

4.2 合计法（聚合分析）

4.3 记账法（核算法）

4.4 势函数方法

4.5 动态表分析

5、算法正确性分析

5.1 循环不变式(*)

5.2 cut and paste方法

5.3 归纳法

5.4 贪心选择性质

四、最大流

1、流、流网络定义

2、Ford-Fulkerson方法

6、相关算法及时间

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