带权并查集

做了 cf 上一道题后发现我对并查集的理解不够深刻，顺带把带权并查集学一下。

并查集

初始化：对于一个集合 A 的所有元素，我们知道对于其中任意一个元素 i，i€A。此时，我们可以认为 i与 A 之间存在一条虚边，如果有新的元素要加入集合 A，将该元素与 A 建一条边即可。这条边我们用数组 fa[i] 表示，即点 i 和它的父亲。

加入：对于点 i，要加入点 j 所在的集合，怎么操作呢？fa[i]=fa[j] 即可。可如果我们要将两个集合合并呢？将集合 A 与集合 B 建边即可。这样做会导致什么结果呢？查询一个节点所属集合最坏可以达到O(n)的复杂度，所以我们增加 join 和 find 操作，join 就是将在两个集合之间建一条边，find 就是将集合间的边消除，让最终集合直接与点相连。

这就是并查集了。

带权并查集

带权并查集即是节点存有权值信息的并查集；当两个元素之间的关系可以量化，并且关系可以量化并且关系可以合并时，可以使用带权并查集来维护元素之间的关系；带权并查集每个元素的权通常描述其与并查集中祖先的关系，这种关系如何合并，路径压缩时就如何压缩：带权并查集可以推算集合内点的关系，而一般并查集只能判断属于某个集合。

eg.食物链

动物王国中有三类动物A,B,C，A吃B，B吃C，C吃A。

现有N个动物，以1-N编号。每个动物都是A,B,C的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。

用两种说法对这N个动物所构成的食物链关系进行描述：

1 X Y ，表示X和Y是同类

2 X Y ，表示X吃Y

给出K句话，有些是真的，有些是假的，满足下列任一条件即为假话，否则是真话：

1）当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；

2）当前的话中X或Y比N大，就是假话；

3）当前的话表示X吃X，就是假话。

输出假话的数量

解题思路：

这个题目需要维护推算集合间的关系，所以可以利用带权并查集解决。

创建三倍数组表示集合间的关系，这题我们可以建立三种关系：同类，捕食，被捕食。我们可以这样表示：

1.f[x]==f[y] 是同类关系

2.f[x]==f[y+2*n] 是捕食关系

3.f[x]==f[y+n] 是被捕食关系

确定表示了三种关系表示，剩下是需要维护的关系，我们需要维护些什么关系呢？

首先是合并考虑压缩路径时的关系维护，我们压缩路径时已知B和A的关系，以及A和A根节点的关系，需要推到出B和A根节点的关系，如图橙色线是我们要推导出的关系，黑色线是已知关系。

 

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int n,m,t,k,ans;
int f[N];
int find(int x){
    if(x==f[x]) return f[x];
    return f[x]=find(f[x]);
}
int main(){
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=3*n;++i) f[i]=i;
    while(k--){
        int x,y,z;
        cin>>z>>x>>y;
        if(x>n||y>n) {++ans;continue;}
        if(z==1){
            if(find(x+n)==find(y)||find(x)==find(y+n)) ++ans;
            else{
                f[find(x)]=find(y);
                f[find(x+n)]=find(y+n);
                f[find(x+n*2)]=find(y+n*2);
            }
        }
        else{
            if(find(x)==find(y)||find(x)==find(y+n)) ++ans;
            else{
                f[find(x+n)]=find(y);
                f[find(x+2*n)]=find(y+n);
                f[find(x)]=find(y+n*2);
            }
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}