基本矩阵操作（一）

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目录

• 矩阵和数组的概念和区别
• 矩阵的构造
• 矩阵大小及结构的改变
• 矩阵下标引用

矩阵和数组的概念和区别

1. 矩阵：矩阵式数学上的概念，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方针。作为一种变换或者映射算符的体现，矩阵运算有着明确而严格的数学规则。
2. 数组：计算机程序设计领域的概念。在matlab中其存在目的是为了使数据管理方便，操作简单，命令形式自然，执行计算有效。
3. 在matlab中，矩阵是以数组的形式存在的，一维数组相当于向量，二维数组相当于矩阵，所以矩阵式数组的子集。

矩阵的构造

1. 直接赋值法构造简单矩阵

   简单矩阵采用矩阵构造符号——方括号[]，同行的元素之间用,或者空格间隔，行与行之间用分号;。

   例如：

   >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
   
   A =
   
        1     2     3
        4     5     6
        7     8     9
   
   >> B=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]
   
   B =
   
        1     2     3
        4     5     6
        7     8     9
   
   >> 
   

2. 特殊矩阵

   特殊矩阵的构造一般都是用matlab特定的函数来实现。

   函数名称	函数功能
   ones(n)	构建一个n x n的1矩阵(矩阵的元素全部是1)
   ones(m,n,.. p)	构建一个m x n...p的1矩阵
   ones( size(A))	构建一个和矩阵A同样大小的1矩阵
   zeros(n)	构建一个n x n的0矩阵(输出矩阵的元素全部是0)
   zeros(m, n,…, p)	构建一个m x n x..x p的0矩阵
   zeros(size(A))	构建一个和矩阵A同样大小的0矩阵
   eye(n)	构建一个n x n的单位矩阵
   eye(m, n)	构建一个m x n的单位矩阵
   eye( size(A))	构建一个和矩阵A同样大小的单位矩阵
   magic(n)	构建一个n x n的矩阵,其每一行、每一列的元素之和都相等
   rand(n)	构建一个n x n的矩阵,其元素为0-1之间均匀分布的随机数
   rand(m,n,… p)	构建一个m x n x..p的矩阵,其元素为0-1之间均匀分布的随机数
   randn (n)	构建一个n x n的矩阵,其元素为零均值、单位方差的正态分布随机数
   randn (m, n,. p)	构建一个m x n x..p的矩阵,其元素为零均值、单位方差的正态分布随机数
   diag(c2)	构建一个n维的方阵,它的主对角线元素值取自向量x,其余元素的值都为0
   diag(A, k)	构建一个由矩阵A第k条对角线的元素组成的列向量k=0为主对角线; k<0为下第k条对角线; k>0为上第k条对角线
   diag(x, k)	构建一个(n+|k|) x (n+|k|)维的矩阵,该矩阵的第k条对角线元素取自向量x,其余元素都为0(关于参数k,参考上个命令)
   triu(A)	构建一个和A大小相同的上三角矩阵,该矩阵的主对角线上元素为A中相应元素,其余元素都为0
   triu(A, k)	构建一个和A大小相同的上三角矩阵,该矩阵的第k条对角线及其以上元素为A中相应元素,其余元素都为0
   tril (A)	构建一个和A大小相同的下三角矩阵,该矩阵的主对角线上元素为A中相应元素,其余元素都为0
   tril(A, k)	构建一个和A大小相同的下三角矩阵,该矩阵的第k条对角线上及其以下元素为A中相应元素,其余元素都为0

   样例：

   >> magic(5)
   
   ans =
   
       17    24     1     8    15
       23     5     7    14    16
        4     6    13    20    22
       10    12    19    21     3
       11    18    25     2     9
   
   >> 
   

3. 向量、标量和空矩阵

   向量：单行或单列的矩阵称为向量。

   标量：1 x 1的矩阵称为标量，矩阵只有一个元素

   空矩阵：行和列数至少有一个为0的矩阵。

   • 空矩阵的表示：

     x=[]
     

   空矩阵和0矩阵的区别：空矩阵内没有任何元素不占用存储空间。而0矩阵表示该矩阵中所有的元素全部为0，需要存储空间。

矩阵大小及结构的改变

矩阵大小及结构的改变一般也是由函数来实现。

函数名称	函数功能
fliplr(A)	矩阵每一行均进行逆序排列
flipud(A)	矩阵每一列均进行逆序排列
flipdim(A, dim)	生成一个在dim维矩阵A内的元素交换位置的多维矩阵
rot90(A)	生成一个由矩阵A逆时针旋转90度而得到的新矩阵
ro190(A,k)	生成一个由矩阵A逆时针旋转k×90.而得到的新矩阵
reshape(A, m, n)	生成一个m x n x p维的矩阵,其元素以线性索引的顺序从矩阵A中取得如果矩阵A中没有mXnx.p个元素,将返回一个错误信息
repmat(A. [m n...p])	创建一个和矩阵A有相同元素的mXnx.Xp块的多维矩阵
shiftdim(A, n)	矩阵的列移动n步。n为正数,矩阵向左移; n为负数,矩阵向右移
squeeze(A)	返回没有空维的矩阵A
cat(dim,A, B)	将矩阵A和B组合成一个dim维的多维矩阵
permute(A, order)	根据向量order来改变矩阵A中的维数顺序
ipermute(A, order)	进行命令permute的逆变换
sort(A)	对一维或二维矩阵进行升序排序,并返回排序后的矩阵；当A为二维矩阵时,对矩阵的每一列分别进行排序
sort(A, dim)	对矩阵按指定的方向进行升序排序,并返回排序后的矩阵.当dim=1时,对矩阵的每一列排序dim=2时,对矩阵的每一行排序
sort(A, dim, mode)	mode为'ascend'时,进行升序排序; mode为'descend'时,进行降序排序
[B, LX]=sort(A,...)	LX为排序后备元素在原矩阵中的行位置或列位置的索引

矩阵下标引用

  在matlab中二维数组的数字索引分为双下标索引和单下标索引。双下标比较简单就类似于坐标的形式，而单下表索引需要注意。但下表索引的方式式采用列优先的方式对矩阵元素进行编号。如下图中4x4矩阵的编号：

1	5	9	13
2	6	10	14
3	7	11	15
4	8	12	16

1. 矩阵下标访问单个矩阵元素

   常用的矩阵索引表达式：

   索引表达式	函数功能
   A(1)	将二维矩阵A重组为一维数组，返回数组中第一个元素
   A(:,j)	返回二维矩阵A中第j列列向量
   A(i,:)	返回二维矩阵A中第i行行向量
   A(:,j:k)	返回由二维矩阵A中的第j列到第k列列向量组成的子矩阵
   A(i:k,:)	返回由二维矩阵A中的第i行到第k行行向量组成的子矩阵
   A(i:k,j:l)	返回由二维矩阵A中的第i行到第k行行向量和第j列到第l列列向量的交集组成的子矩阵
   A(: )	将矩阵A中的每列合并成一个长的列向量
   A(j:k)	返回一个行向量，其元素为A（：）中的第j个元素到第k个元素
   A([j1 j2 ...])	返回一个行向量，其元素为A（：）中的第j1、j2元素
   A(:,[j1 j2 ...])	返回矩阵A的第j1列、第j2列等的列向量
   A([i1 i2 ...],: )	返回矩阵A的第i1行、第i2行等的行向量
   A([i1 i2 ...],[j1 j2 ...])	返回矩阵第1行、第2行等和第j列、第2列等的元素

2. 线性引用元素

   • 双下标索引转化为单下标索引

     IND=sub2ind(siz,i,j)
     

     其中siz是包含两个元素的数组，代表了矩阵的行数和列数，一般可以直接用size(A)表示，i与j分别是双索引下标元素的行数和列数，IND是转换后的单索引下标值。

   • 单索引下标转化为双索引下标

     [I J]=ind2sub(siz,ind)
     

     变量意义同上。

3. 访问多个矩阵元素

   sum(A(1:4,4))							%求第4列前四个元素的和
   sum(A(:,4))								%求第4列所有元素的和
   sum(A(:,end))							%求矩阵最后一列元素的和
   B=A(1:3:10)								%