【剑指Offer】31、从1到n整数中1出现的次数

【剑指Offer】31、从1到n整数中1出现的次数

题目描述：

求出1-13的整数中1出现的次数,并算出100-1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1-13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

解题思路：

本题一个最简单直观的做法是：累加从1到n每个整数中1出现的次数，而对于每个整数，可以通过对10求余判断个位数字是不是1，然后除10再判断下一位。这种思路很简单，但是对于数字n，有O(logn)位，n个数字依次判断的时间复杂度为O(nlogn)，计算量比较大。

这里我们采用一种数学方法，对数n的每一位单独讨论，记每一位的值为weight。

首先，我们考虑个位，个位每隔10个数就会出现一个1，如1,11,21等等，以10为分隔阶梯，我们可以知道每次从1到10 的一轮中，会出现一个1，出现了几轮取决于它前面的数，最后根据个位上的数会出现一个不完整的一轮，若为0，这说明没有出现1，否则出现了1。所以个位上总共出现的1的个数为：n/10 + (n%10==0?0:1)。

然后考虑十位，十位与个位的不同之处在于：从1到n，每增加10，十位的weight才会增加1，所以，一轮0-9周期内，1会出现10次，也就是从10到19这十个数。这样的数每隔100次才会出现一次，出现了几轮取决于它前面的数。同样最后会有一个不完整的一轮，这取决于十位上的数字，如果十位数weigth大于1，说明最后一轮的完整十次都出现了；weight为0，说明最后一轮没有出现1；如果正好为1，那么取决于个位数字是几。

进而再考虑更高位，分析方法和十位类似。

总结起来，我们可以得到以下规律：

记当前位值为weight，它前面的数为round（代表了循环轮次），后面的数为former（初始为0，代表最后的一个不完整轮次），当前位权为base。

• 若weight为0，则1出现次数为round*base
• 若weight为1，则1出现次数为round*base+former+1
• 若weight大于1，则1出现次数为rount*base+base

举例：

534 = （个位1出现次数）+（十位1出现次数）+（百位1出现次数）=（53*1+1）+（5*10+10）+（0*100+100）= 214

504 = （50*1+1）+（5*10）+（0*100+100） = 201

514 = （51*1+1）+（5*10+4+1）+（0*100+100） = 207

编程实现（Java）：

   public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        int count=0;
        int weight=0;  //位值
        int base=1; //权重
        int former=0;
        int round=n;
        while(round!=0){
            weight=round%10;
            round=round/10;
            former = n%base;
            if(weight>1)
                count += (round*base+base);
            else if(weight==1)
                count += (round*base+former+1);
            else
                count += (round*base);
            base *= 10;
        }
        return count;
    }