P8649 [蓝桥杯 2017 省 B] k 倍区间
[蓝桥杯 2017 省 B] k 倍区间
题目描述
给定一个长度为 N 的数列,A_1,A_2, ... A_N,如果其中一段连续的子序列 A_i,A_{i+1}, ... A_j(i <= j) 之和是 K 的倍数,我们就称这个区间 [i,j] 是 K 倍区间。
你能求出数列中总共有多少个 K 倍区间吗?
输入格式
第一行包含两个整数 N 和 K(1 <= N,K <= 10^5)。
以下 N 行每行包含一个整数 A_i(1 <= A_i <= 10^5)。
输出格式
输出一个整数,代表 K 倍区间的数目。
样例 #1
样例输入 #1
5 2
1
2
3
4
5
样例输出 #1
6
提示
时限 2 秒, 256M。蓝桥杯 2017 年第八届
分析:
步骤:
1.统计前缀和sum[i] 表示A1+A2+…+Ai。
2.对于任意一段区间[i,j]的和:sum[j] - sum[i-1],判断这个区间和是不是K的倍数:(sum[j]-sum[i-1])%k == 0。
代码:
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAX_N = 1e5+1;
int N,K;
int a[MAX_N];
int sum[MAX_N];//前缀和
int main(){
cin >> N >> K;
for(int i = 1;i <= N;i++){
cin >> a[i];
sum[i] = sum[i-1]+a[i];
}
long long ans = 0;
//枚举i,j
for(int i = 1;i <= N;i++){
for(int j = i;j <= N;j++){
//i,j之间的区间和=s[j]-s[i-1]
if((sum[j] - sum[i-1]) % K == 0){//如果是K倍区间,ans++(这种方法是正确的,但是不够高效,这是一种暴力枚举利用前缀和的解题方法)
ans++;
}
}
}
cout << ans <<endl;
return 0;
}
但是这样做运行超时了,只拿了28分
如何优化呢?
我们先了解一下同余定理:
如果a,b除以c的余数相同,就称a,b对于除数c来说是同余的,且有a与b的差能被c整除.(a,b,c均为自然数)
例如,7,16除以3的余数相同都为1,就称7,16对于除数3来说是同余的,且7与16的差能被3整除。(7,16,3均为自然数)
做法:
我们将所有的前缀和sum[i]全部模上K,统计所有相同余数的个数
根据上面的介绍,我们知道假设有m个前缀和满足除以K的余数相同,那么任意两个前缀和的差都能被K整除,所以K倍区间的个数就是,即m*(m-1)/2个
提交答案
#include<iostream>
#include<map>
using namespace std;
const int MAX_N = 1e5+1;
int N,K;
int a[MAX_N];
int sum[MAX_N];
map<int,int> cnt;
int main(){
cin >> N >> K;
cnt[0] = 1;//千万别忘记sum[0] = 0这种情况
for(int i = 1;i <= N;i++){
cin >> a[i];
sum[i] = (sum[i-1]+a[i]) % K;
cnt[sum[i]]++;
}
long long ans = 0;
for(int i = 0;i < K;i++){//余数的范围在[0~K-1]之间
ans += cnt[i]*(cnt[i]-1) / 2;
}
cout << ans <<endl;
return 0;
}