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P8649 [蓝桥杯 2017 省 B] k 倍区间

[蓝桥杯 2017 省 B] k 倍区间

题目描述

给定一个长度为 N 的数列,A_1,A_2, ... A_N,如果其中一段连续的子序列 A_i,A_{i+1}, ... A_j(i <= j) 之和是 K 的倍数,我们就称这个区间 [i,j] 是 K 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 K 倍区间吗?

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 K(1 <= N,K <= 10^5)。

以下 N 行每行包含一个整数 A_i(1 <= A_i <= 10^5)。

输出格式

输出一个整数,代表 K 倍区间的数目。

样例 #1

样例输入 #1

5 2
1  
2  
3  
4  
5

样例输出 #1

6

提示

时限 2 秒, 256M。蓝桥杯 2017 年第八届

分析:

步骤:

1.统计前缀和sum[i] 表示A1+A2+…+Ai。

2.对于任意一段区间[i,j]的和:sum[j] - sum[i-1],判断这个区间和是不是K的倍数:(sum[j]-sum[i-1])%k == 0。

代码:

#include<iostream>
using namespace std;
const int MAX_N = 1e5+1;
int N,K;
int a[MAX_N];
int sum[MAX_N];//前缀和 
int main(){
	cin >> N >> K;
	for(int i = 1;i <= N;i++){
		cin >> a[i];
		sum[i] = sum[i-1]+a[i];
	}
	long long ans = 0;
        //枚举i,j
	for(int i = 1;i <= N;i++){
		for(int j = i;j <= N;j++){
                        //i,j之间的区间和=s[j]-s[i-1] 
			if((sum[j] - sum[i-1]) % K == 0){//如果是K倍区间,ans++(这种方法是正确的,但是不够高效,这是一种暴力枚举利用前缀和的解题方法) 
				ans++;
			}
		}
	}
	cout << ans <<endl;
	return 0;
} 

但是这样做运行超时了,只拿了28分
如何优化呢?

我们先了解一下同余定理:

        如果a,b除以c的余数相同,就称a,b对于除数c来说是同余的,且有a与b的差能被c整除.(a,b,c均为自然数)
例如,7,16除以3的余数相同都为1,就称7,16对于除数3来说是同余的,且7与16的差能被3整除。(7,16,3均为自然数)

做法:

我们将所有的前缀和sum[i]全部模上K,统计所有相同余数的个数

根据上面的介绍,我们知道假设有m个前缀和满足除以K的余数相同,那么任意两个前缀和的差都能被K整除,所以K倍区间的个数就是,即m*(m-1)/2个

提交答案

#include<iostream>
#include<map>
using namespace std;
const int MAX_N = 1e5+1;
int N,K;
int a[MAX_N];
int sum[MAX_N];
map<int,int> cnt;
int main(){
	cin >> N >> K;
	cnt[0] = 1;//千万别忘记sum[0] = 0这种情况
	for(int i = 1;i <= N;i++){
		cin >> a[i];
		sum[i] = (sum[i-1]+a[i]) % K;
		cnt[sum[i]]++;
	}
	long long ans = 0;
	for(int i = 0;i < K;i++){//余数的范围在[0~K-1]之间 
		ans += cnt[i]*(cnt[i]-1) / 2;
	} 
	cout << ans <<endl;
	return 0;
} 
posted @ 2023-02-08 15:19  bujidao1128  阅读(328)  评论(1编辑  收藏  举报