找出n个元素集合中的第k大（小）元素的判定树复杂度

所谓判定树复杂度，就是在最坏输入情况下树的最短深度。

易知当k=1时，判定树复杂度D(f)=n-1（除了最大的元素其他元素至少要输n-1次），此时叶节点数共有2^(n-1)个；

k=2时，判定树复杂度D(f)=n-1+[lg(n-1)](下取整)；

1）利用counting leaves. 

在找出第二大元素时必然会同时找出最大元素，在找出最大元素后，删除最大元素与其他元素进行比较的分支，可得叶节点2^(n-2)个，又最大元素可能的情况有n种，所以叶节点共有n*2^(n-1)个，于是可得D(f).

2)adversary argument

首先两两进行比较，每次淘汰较小的数，则经过n-1次可得出最大的数，此时会形成深度为[lg(n-1)](下取整)+1的树，然后用相同的方法至少需要[lg(n-1)](下取整)+1-1次比较。

 

对于任意k，D(f)≥(n-k)+[lg(C_k-1ⁿ)](C_(k-1)n 下取整)

对于L={x1,...,x(k-1)}表示the first k-1 largest element, so 删除L中元素与X\L中元素 的比较分支后形成的子树叶节点有2^(n-k)个，又知有（k-1）个这样的子树，故共有叶节点（k-1）*2^(n-k)个。